Типовые математические модели структуры потоков в аппаратах

Поведение потоков в реальных аппаратах настолько сложно, что в настоящее время дать строгое математическое описание их в большинстве случаев не представляется возможным. В то же время известно, что структура потоков оказывает существенное влияние на эффективность химико-технологических процессов (ХТП), поэтому ее необходимо учитывать при моделировании. При этом математические модели структуры потоков являются основой, на которой строится математическое описание химико-технологического процесса. Точное описание реальных потоков (например, с помощью уравнения Навье – Стокса) приводит к чрезвычайно трудным для решения задачам. Поэтому разработанные к настоящему времени модели структуры потоков в аппаратах являются достаточно простыми и носят полуэмпирический характер. Тем не менее они позволяют получать математические модели ХТП, достаточно точно отражающие реальный физический процесс (модели, адекватные объекту) [3–5].

Структура математической модели любого процесса химической технологии, в котором происходит перемещение жидкостей или паров, определяется прежде всего гидродинамическими параметрами и проявляется в характере распределения времени пребывания частиц потока в рассматриваемой системе.

Этот характер распределения подчиняется статистическим законам и находится по виду сигнала, проходящего через систему. В поток на входе его в аппарат каким-либо способом вводят индикатор, а на выходе потока из аппарата замеряют концентрацию индикатора как функцию времени. Эта выходная кривая называется функцией отклика системы на типовое возмущение по составу потока. Основным требованием, предъявляемым к индикатору, является условие поведения частиц индикатора в аппарате подобно поведению частиц потока.

На практике часто применяют индикаторы, которые не вступают во взаимодействие с основным потоком и могут быть легко замерены.

Индикатор на входе потока в аппарат вводят в виде стандартных сигналов: импульсного, ступенчатого и циклического. В зависимости от вида возмущающего сигнала различают методы исследования структуры потоков: импульсный, ступенчатый и циклический. При ступенчатом изменении входной величины получают соответственно f – выходную кривую (кривую отклика), при нанесении импульсного возмущения получают соответственно С – выходную кривую, при изменении входной величины по законам гармонического колебания получают изменённое по амплитуде и фазе синусоидальное изменение выходной величины.

Статистическая функция распределения индикатора при нанесении импульсного возмущения (С – кривая) записывается в виде [2]

. (2.1)

Функция распределения времени пребывания С (t) характеризует долю индикатора в выходящем потоке.

Среднее время пребывания определяется из соотношения

. (2.2)

Функцию распределения С (t) представляют в виде

, (2.3)

где D t – интервал отбора проб.

Безразмерное время пребывания

. (2.4)

При известном среднем времени пребывания С- кривую можно охарактеризовать уравнением

, (2.5)

где С ₀ – начальная концентрация вещества на входе.

В зависимости от вида функции распределения все многообразие математических моделей потоков, возникающих в различных аппаратах, может быть представлено в виде некоторых типовых моделей.

Модель идеального смешения. Согласно этой модели принимается равномерное распределение субстанции во всем потоке. Зависимость между концентрацией субстанции в потоке на входе и на выходе имеет вид

, (2.6)

где u – объемный расход, м³/с;

V – объем аппарата, м³;

С, С _вх, С _вых – концентрация вещества: текущая, входная, на выходе.

Модель идеального вытеснения. В соответствии с этой моделью принимается поршневое течение без перемешивания вдоль потока при равномерном распределении субстанций в направлении, перпендикулярном движению. Время пребывания в системе всех частиц одинаково и равно отношению объема системы к объемному расходу жидкости.

Математическое описание модели имеет вид

, (2.7)

где u – линейная скорость потока, м/с.

Диффузионные модели. Различают однопараметрическую и двухпараметрическую диффузионные модели.

Однопараметрическая модель. Ее основой является модель идеального вытеснения, осложненная обратным перемешиванием, подчиняющимся формальному закону диффузии. Параметром, характеризующим модель, служит коэффициент турбулентной диффузии, или коэффициент продольного перемешивания D_L.

При составлении однопараметрической диффузионной модели принимаются следующие допущения: изменение концентрации субстанции является непрерывной функцией пространственной координаты; концентрация субстанции в данном сечении постоянна; объемная скорость потока и коэффициент перемешивания не изменяются по длине и сечению потока.

При таких допущениях модель описывается уравнением

. (2.8)

Член уравнения учитывает турбулентную диффузию, или продольное перемешивание. Величина D_L определяется расчетным или опытным путем.

Двухпараметрическая модель. В этой модели учитывается перемешивание потока в продольном и радиальном направлениях; причем модель характеризуется коэффициентом продольного (D_L)и радиального (D_R) перемешивания. При этом принимается, что величины D_L и D_R не изменяются по длине и сечению аппарата, а скорость потока постоянна.

При условии движения потока в аппарате цилиндрической формы радиуса R с постоянной по длине и сечению скоростью уравнение двухпараметрической модели имеет вид

. (2.9)

При опытном определении коэффициентов продольного и радиального перемешивания (D_L и D_R) обычно их представляют в виде безразмерных комплексов – критериев Пекле: или , где L – определяющий линейный размер системы. Тогда уравнение диффузионной модели также приводится к безразмерному виду. С этой целью вводятся безразмерная концентрация ; безразмерная длина и время .

Учитывая, что объемная скорость принимается постоянной, для установившегося режима уравнение (2.8) приводится к виду

. (2.10)

Если , диффузионная модель переходит в модель идеального вытеснения; если – в модель идеального перемешивания.

Ячеечная модель. Основой модели является представление об идеальном перемешивании в пределах ячеек, расположенных последовательно, и в отсутствии перемешивания – между ячейками. Параметром, характеризующим модель, служит число ячеек N.

Математическое описание ячеечной модели включает N линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

, (2.11)

где i =1, 2,..., N (N – номер ячейки);

t – время контакта.

Ячеечной моделью оценивают функции распределения в последовательно соединенных аппаратах с мешалками, осуществляющими интенсивное перемешивание.

Кривые отклика при ступенчатом или импульсном возмущении для различных типов гидродинамических моделей представлены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Типовые модели структуры потоков в аппарате

t

F

Математическое описание
гидродинамики насадочного абсорбера

Абсорбцией называется процесс поглощения газа или пара жидким поглотителем (абсорбентом). В промышленности абсорбция с последующей десорбцией широко применяется для выделения из газовых смесей ценных компонентов (например, для извлечения из коксового газа аммиака, бензола и др.), для очистки технологических и горючих газов от вредных примесей (например, для очистки отходящих газов от сернистого ангидрида) и т. д. [11–14].

При абсорбции процесс массопередачи протекает на поверхности соприкосновения фаз. Поэтому в аппаратах для поглощения газов жидкостями (абсорберах) должна быть создана развитая поверхность соприкосновения между газом и жидкостью. Скорость массопередачи в насадочном абсорбере зависит от гидродинамического режима в аппарате.

Насадочные абсорберы представляют собой колонны, загруженные насадкой – твердыми телами различной формы – для увеличения поверхности соприкосновения между газом и жидкостью (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Насадочный абсорбер:
1 – насадка; 2 – решетка; 3 – распределительный стакан

Жидкость стекает по поверхности насадки тонкой пленкой и одновременно распределяется в слое насадки в виде капель и брызг.

Насадка 1 опирается на решетку 2, в которой имеются отверстия для прохода газа и стока жидкости. Газ поступает в колонну снизу и движется вверх противотоком по отношению к жидкости.

Типовые модели идеального перемешивания, идеального вытеснения, диффузионная модель с определенной степенью точности могут применяться для воспроизведения структуры и гидродинамических свойств потоков в различных аппаратах химической технологии. Однако идеальные модели в ряде случаев неадекватны реальному процессу, а диффузионная модель отличается сложностью. По этой причине для трубчатых и колонных аппаратов удобнее представлять реальные потоки в виде ячеечной модели [5]. Построим математическую модель гидродинамики насадочного абсорбера по газовому потоку. Для этого разобьем насадку на N ячеек (рис. 2.2) и запишем систему дифференциальных уравнений (2.12).

(2.12)

где V – объем насадки, м³;

u – объемная скорость потока, м³/ч;

С_i – концентрация вещества в i -й ячейке.

Рис. 2.2. Ячеечная схема насадки

Так как отношение V /u обычно называют временем пребывания частицы в аппарате (t), то система (2.12) может быть представлена в виде

(2.13)

Время пребывания t рассчитывается, а N определяется по экспериментальной кривой отклика, снятой на исследуемом аппарате. Для этого изменяется ступенчато концентрация трассера на входе в аппарат и снимается изменение концентрации трассера на выходе из аппарата. Решая систему (2.13), добиваются адекватности модели процессу за счет изменения числа ячеек N.

Модель называется адекватной, если выполняется условие

, (2.14)

где – экспериментальные и расчетные значения концентрации трассера на выходе из аппарата;

k – число экспериментальных точек на кривой разгона;

e – заданная точность.

Система уравнений (2.13), с учетом начальных условий, интегрируется с помощью численного метода Эйлера.

Исходные данные:

1. Высота насадки L = 11,5 м.

2. Площадь поперечного сечения абсорбционной колонны S =1,8 м².

3. Объемная скорость потока V = 10 000 м³/ч.

4. Концентрация абсорбируемого компонента С ₀, % об.

5. Экспериментальная кривая разгона С _е [0… k ].

Численные значения для пунктов 4 и 5 приведены в табл. 2.2. Программа расчета гидродинамики насадочного абсорбера приведена в Приложении В.

Варианты заданий

Таблица 2.2