Явные методы типа Рунге-Кутта

Идея данного метода основана на вычислении приближённого решения y ₁ в узле x ₀ + h в виде линейной комбинации с постоянными коэффициентами [6, 7]:

(1.29)

где

Числа выбираются так, чтобы разложение выражения (1.29) по степеням h совпадало с разложением в ряд Тейлора:

,

(1.30)

где , , .

Это эквивалентно следующему. Если ввести вспомогательную функцию

,

(1.31)

то ее разложение по степеням h должно начинаться с максимально возможной степени:

.

(1.32)

Если можно определить эти постоянные так, чтобы разложение имело вид (1.32), то говорят, что формула (1.29) с выбранными коэффициентами имеет порядок точности s.

Величина

(1.33)

называется погрешностью метода на шаге, или локальной погрешностью метода, а первое слагаемое в выражении (1.32)

(1.34)

называется главным членом локальной погрешности метода.

Доказано, что если q = 1, 2, 3, 4, то всегда можно выбрать коэффициенты так, чтобы получить метод типа Рунге-Кутта порядка точности q. При q = 5 невозможно построить метод типа Рунге-Кутта (1.29) пятого порядка точности, необходимо брать в комбинации (1.29) более пяти членов.