Общие представления одношаговых методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть имеется дифференциальное уравнение

,

(1.25)

удовлетворяющее начальному условию

.

(1.26)

Требуется найти решение задачи (1.25), (1.26) на отрезке [ x ₀, x ₀+ X ]. Выполним разбиение отрезка точками

.

Этот набор точек называют сеткой, а точки x_i (i = i, n) – узлами сетки.

Одношаговые численные методы дают приближения y_n к значениям точного решения y (x_n) в каждом узле сетки x_n на основе известного приближения y_{n -1} к решению в предыдущем узле x_{n- 1}. В общем виде их можно представить так [6, 7]:

(1.27)

Для явных одношаговых методов функция F не зависит от y_{n+ 1}.

Обозначая

явные одношаговые методы будем записывать также в виде

.

(1.28)