Затухающие колебания. Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, то колебания будут затухать. В простейшем случае сила сопротивления пропорциональна величине скорости:

. (5.49)

Здесь r - постоянная величина, называемая коэффициентом сопротивления среды. Знак минус обусловлен тем, что сила и скорость v имеют противоположные направления, поэтому их проекции на ось х имеют разные знаки.

Уравнение второго закона Ньютона при наличии сил сопротивления имеет вид

. (5.50)

Применив обозначение

, (5.51)

(r - коэффициент сопротивления среды, т.е. коэффициент пропорциональности между скоростью и силой сопротивления; k – коэффициент квазиупругой силы; w₀ – собственная частота колебания системы), перепишем уравнение (5.50) следующим образом:

. (5.52)

Это дифференциальное уравнение описывает затухающие колебания системы.

При не слишком сильном трении общее решение уравнения (5.52) имеет вид:

x = A ₀e^{-b t} cos (w t+ a). (5.53)

Здесь А ₀ и a - произвольные постоянные;

, (5.54)

w - частота, с которой система совершает затухающие колебания.

На рис. 5.14 представлен график функции (5.53). Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки х.

В соответствие с видом функции (5.53) движение системы можно рассматривать как гармоническое колебание частоты w с амплитудой, изменяющейся по закону

А (t) = А ₀e^{-b t}. (5.55)

Верхняя из пунктирных кривых на рис. 5.14 дает график функции А (t), причем величина А ₀ представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение х ₀зависит, кроме А ₀, также от начальной фазы a:

х ₀ =А ₀cos a.

Скорость затухания колебаний определяется величиной b = r/ 2 m, которую называют коэффициентом затухания.

Определим физический смысл коэффициента затухания. Для этого найдем время t, за которое амплитуда уменьшается в ераз. По определению е ^{-b t} = e ^-1, откуда bt = 1. Следовательно, коэффициент затухания обратно пропорционален по величине тому промежутку времени t, за который амплитуда уменьшается в е раз (е = 2,72 – основание натурального логарифма).