Вынужденные колебания

Теперь пусть колебательная система подвергается действию внешней силы, изменяющейся со временем по гармоническому закону:

F_x = F ₀cos W t. (5.59)

В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид:

.

Используя обозначения (5.51), запишем это уравнение следующим образом:

, (5.60)

где

f ₀ = F ₀ /m (5.61)

является амплитудой удельной силы (т.е. силы на единицу массы).

Уравнение (5.60) описывает вынужденные колебания. Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения, совпадающее с уравнением (5.53),нам уже известно. Оно имеет следующий вид:

x = A ₀e^{- b t} cos (w t + a), (5.62)

где . Найдем частное (не содержащее произвольных постоянных) решение уравнения (5.60). Для этого воспользуемся методом векторных диаграмм.

Предположим, что частное решение уравнения (5.60) имеет вид

x = A cos ( W t - j ). (5.63)

Тогда

= - w A sin ( w t - j ) = w A cos ( w t - j + p/2 ), (5.64)

= - w² A cos ( w t - j ) = w² A cos ( w t - j + p ). (5.65)

Подстановка выражений (5.64) и (5.65) в уравнение (5.60) приводит к соотношению

w² A cos(w t - j + p) + 2 bw A cos(w t - j + p/2) + A cos (w t - j) = f ₀ cos W t. (5.66)

Из (5.66) следует, что постоянные А и j должны иметь такие значения, чтобы гармоническая функция f ₀cos W t была равна сумме трех гармонических функций, стоящих в левой части уравнения. Если изобразить функцию A cos (w t - j) вектором длины , направленным вправо (рис. 5.15), то функция 2bw A cos (w t - j + p/2) изобразится вектором длиной 2bw А, повернутым относительно вектора против часовой стрелки на угол p/2, а функция w² А cos (w t - j + p/2) – вектором длиной w² А, повернутым относительно вектора на угол p. Чтобы уравнение (5.60) было удовлетворено, сумма трех перечисленных векторов должна совпадать с вектором, изображающим функцию f ₀cos W t.

Из рис. 5.15, видно, что такое совпадение возможно лишь при значении амплитуды А, которое определяется условием

( - w²) А ² + 4b²w² А ² = , (5.67)

откуда

. (5.68)

Рис. 5.15 позволяет получить также и значение j, которое представляет собой величину отставания по фазе вынужденного колебания (5.63) от обусловившей его вынуждающей силы. Из рисунка следует, что

. (5.69)

Подставив в (5.63) значения А и j, определяемые формулами (5.68) и (5.69), получим функцию, представляющую собой решение неоднородной части уравнения (5.60):

cos (w t – arctg ). (5.70)

Функция (5.70) в сумме с (5.62) дает общее решение уравнения (5.60), описывающее поведение системы при вынужденных колебаниях:

cos (w t – arctg ) + A ₀ e ^{- b t} cos (W t + a) (5.71)

Второе слагаемое в уравнение (5.71) играет заметную роль только в начальной стадии процесса, при так называемом установлении колебаний (рис. 5.16). С течением времени из-за экспоненциального множителя e^{-b t} роль этого слагаемого все больше уменьшается, и по прошествии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя лишь первое слагаемое.

Таким образом, функция (5.70) описывает установившиеся вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда (5.68) вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Для данной колебательной системы амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания j также зависит от частоты вынуждающей силы (см. (5.69)).

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте.