Основной закон динамики вращательного движения

. (3.3)

Он направлен перпендикулярно к плоскости, проведенной через векторы и ,и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из конца видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от к происходит против часовой стрелки, рис. 3.1, а).

Векторное произведение радиуса-вектора , проведенного в точку приложения силы, на эту силу называют моментом силы относительно точки О:

. (3.4)

Векторы , , образуют правую тройку (рис. 3.1, б). Численное значение момента силы

M_i = F_i r_i sin a _i = F_i l_i, (3.5)

где a _i – угол между векторами и ,а l_i = r_i sin a _i – длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы .Величина l_i называется плечом силы .Если линия действия силы проходит через точку О, то l_i = 0 и момент силы относительно точки О равен нулю.

Из (3.2), (3.3), и (3.4) следует, что скорость изменения момента импульса i -й материальной точки

. (3.6)

Сложим почленно все эти уравнения, записанные для каждой из n материальных точек системы:

. (3.7)

Векторную сумму моментов всех внешних сил, приложенных ко всем материальным точкам системы, называют результирующим, или главным моментом внешних сил относительно точки О:

.(3.8)

Векторную сумму моментов импульсов всех материальных точек системы называют моментом импульса системы относительно точки О:

. (3.9)

Так как производная от суммы равна сумме производных от всех слагаемых, то

. (3.10)

Наконец, векторная сумма моментов относительно точки О всех внутренних сил взаимодействия между материальными точками системы равна нулю:

. (3.11)

Это связано с тем, что по третьему закону Ньютона силы и численно равны, имеют общую линию действия, но направлены противоположно. Поэтому их моменты и относительно точки О численно равны и противоположны по направлению.

На основании соотношений (3.8), (3.10) и (3.11) уравнение (3.7) можно записать в следующей форме:

. (3.12)

Таким образом, скорость изменения момента импульса системы относительно неподвижной точки равна результирующему моменту относительно той же точки всех внешних сил, действующих на систему.

Соотношение (3.12) справедливо, в частности, для твердого тела, закрепленного в точке О. В этом случае оно выражает основной закон динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной точки. Из него следует, что момент импульса является основной динамической характеристикой тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

Пусть теперь твердое тело закреплено в двух неподвижных точках: О и О ₁ так, что оно может вращаться вокруг неподвижной оси Оz, проходящей через эти точки. В этом случае, составляющие момента относительно точки О, направленные вдоль осей Ох и Оy, компенсируются соответствующими моментами сил реакции закрепления в точке О ₁. Поэтому вращение тела вокруг оси 0 z происходит под действием составляющей M _z момента внешних сил относительно точки О. Из (3.12) следует, что уравнение движения тела имеет вид

, (3.13)

где L_z и M_z – составляющие векторов момента импульса тела и результирующего момента внешних сил относительно точки О, направленные вдоль неподвижной оси Оz вращения тела и называемые, соответственно, моментом импульса тела относительно оси Оz и результирующим моментом внешних сил относительно той же оси. Уравнение (3.13) выражает основной закон динамики для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси: скорость изменения момента импульса тела относительно неподвижной оси вращения равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, действующих на тело.

Из этого закона следует, что основной динамической характеристикой тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, является момент импульса тела относительно этой оси.

Найдем выражение для момента импульса L_z тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Оz с угловой скоростью . Так как , то .

Из рис. 3.2 видно, что радиус-вектор i -й материальной точки

,

где – вектор, проведенный из точки О в точку О_{i ,} лежащую на оси вращения Оz и являющуюся центром окружности, по которой движется рассматриваемая i- я точка тела. Поэтому

.

Вектор перпендикулярен к вектору , т.е. его составляющая вдоль оси Оz равна нулю. Векторы , и взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения тела. Поэтому вектор численно равен r _i m_i v_i = r² _i, m_i w и направлен вдоль оси вращения тела в ту же сторону, что и вектор . Таким образом, L_iz = r ²_i m_i w и

. (3.14)

Сумма произведений массы каждой материальной точки тела на квадрат ее расстояния до оси называется моментом инерции тела относительно этой оси. Момент инерции относительно оси Оz равен

. (3.15)

Следовательно,

L_z = I_z w. (3.16)

Рассмотрим более подробно величину, называемую моментом инерции тела относительно оси вращения.

Характер вращения тела вокруг неподвижной оси определяется не только моментом силы , но находится в за­висимости от величины, обуславливающей инертность тела во враща­тельном движении. Опытным путем установлено, что на величину уг­лового ускорения вращающегося тела оказывает влияние не только его масса, но и характер ее распределения относительно оси враще­ния. Таким образом, масса m не может служить однозначной харак­теристикой инертности тела во вращательном движении и поэтому вво­дится новая скалярная величина - момент инерции тела I, которая учитывает оба эти обстоятельства.

Момент инерции I - скалярная физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении, зависящая от массы тела и ее распределения относительно оси вращения. Для материальной точки тела момент инерции численно ра­вен произведению массы этой точки на квадрат ее расстояния до оси вращения

I _м.т. = m r² _i. (3.17)

Для суммы n отдельных материальных точек, в соответствии с принципом аддитивности, момент инерции

. (3.18)

Для определения момента инерции абсолютно твердого тела любой формы выделим в нем элемент массы , отстоящий на расстоянии r _i от оси вращения. Тогда, в силу (3.18) и возможности представле­ния твердого тела в виде совокупности материальных точек массы , момент инерции тела

I = . (3.19)

Расчет моментов инерции неоднородных тел и тел неправильной формы - сложная математическая задача, часто моменты таких тел определяются экспериментально.

Моменты инерции I_О некоторых однородных тел геометрически правильной формы относительно оси симметрии приводятся в справоч­ной литературе:

I) момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) от­носительно оси цилиндра

I_О = mR², (3.20)

где R - радиус цилиндра; m - его масса.

2) момент инерции тонкостенного полого цилиндра (кольца)

I_О = mR²; (3.21)

3) момент инерции однородного шара радиуса R

I_О = mR²;

4) момент инерции однородного стержня длиной

I_О = m l² . (3.22)

Одно и то же тело имеет различные моменты инерции в зависи­мости от положения неподвижной оси вращения. Если ось вращения не проходит через центр инерции (не совпадает с осью симметрии), то момент инерции тела определяется по теореме Штейнера: момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I_О относительно оси, параллель­ной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

I = I_О + md². (3.23)

Пример. Для однородного шара массой и радиусом R (рис. 3.3) момент инерции относительно оси ОО^/, проходящей через центр инерции, I_О = mR² . Момент инерции шара относительно оси , каса­тельной к поверхности шара и параллельной оси ОО, согласно (3.23),

I = I_О + mR ² = mR² +mR ² = mR².

Из формулы (3.16) следует, что основное уравнение (3.13) динамики для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси О z, можно представить в такой форме:

или , (3.24)

где - угловое ускорение тела.