Закон сохранения момента импульса

Для замкнутой системы тел момент внешних сил всегда равен нулю, так как внешние силы вообще не действуют на замкнутую систему. Поэтому из уравнения (3.12) следует, что для такой системы

= 0 и = const. (3.25)

Этот результат называется законом сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени. В теоретической физике доказано, что этот закон – следствие изотропности пространства. Изотропность пространства означает, что при повороте в нем замкнутой системы как целого физические свойства замкнутой системы и законы ее движения не изменяются.

Из основного закона динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси O z (уравнение 3.13), следует закон сохранения момента импульса тела относительно этой оси: если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тела тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой оси не изменится в процессе движения. Если M_z º 0, то на основании соотношения (3.16)

I_z = const, (3.26)

где - угловая скорость тела; I_z – его момент инерции относительно оси вращения.

Этот закон может быть обобщен на любую незамкнутую систему тел: если результирующий момент всех внешних сил, приложенных к системе, относительно какой-либо неподвижной оси тождественно равен нулю, то момент импульса системы относительно той же оси не изменятся с течением времени.

В заключение приводятся таблица аналогий в описании поступательного и вращательного движений (табл. 3.1) и таблица единиц измерения динамических характеристик поступательного и вращательного движений (табл. 3.2).

Таблица 3.1

Характеристики и законы поступательного и вращательного движений

Поступательное движение по прямой линии	Вращательное движение относи­тельно неподвижной оси
s – линейный путь v –линейная скорость a – линейное ускорение m – масса тела F –сила p = mv –импульс тела F d t – импульс силы	j – угловой путь w– угловая скорость e – угловое ускорение I – момент инерции тела M –момент силы L = I w–момент импульса тела M d t – импульс момента сил
Основной закон динамики поступательного движения	Основной закон динамики вращательного движения
при m ¹ const при m = const	при I ¹ const при I = const
Закон сохранения импульса	Закон сохранения момента импульса
= const – для системы тел = const – для одного тела	= const – для системы тел =const – для одного тела

Таблица 3.2

Единицы измерения динамических характеристик

Наименование характеристики	Обозначение и определяющее уравнение	Название	Сокращенное обознач.
Масса	m	килограмм	кг
Сила		ньютон	Н
Импульс		килограмм-метр в секунду	кг×м/с
Импульс силы		ньютон-секунда	Н×с
Момент инерции	I= mr2	килограмм-метр в квадрате	кг×м2
Момент силы		ньютон-метр	Н×м
Момент импульса		килограмм-метр в квадрате в секунду	кг×м2/с
Импульс момента силы		Ньютон-метр-секунда	Н×м×с

Вопросы для самоконтроля

1. Какие динамические характеристики описывают вращательное движение?

2. Почему сила не может служить однозначной характеристикой вращательного движения?

3. Напишите формулу момента силы и поясните входящие в нее величины.

4. Как строится вектор, изображающий момент силы?

5. Что такое «плечо силы»? Как его определить и построить на рисунке?

6. Какая составляющая силы называется вращательной? Почему?

7. Подчиняется ли принципу суперпозиции момент силы?

8. Что такое момент инерции? Скалярная или векторная это величина?

9. Напишите выражение момента инерции: а) для материальной точки; б) для системы материальных точек; в) для абсолютно твердого тела.

10. От каких параметров зависит момент инерции?

11. Через какую точку тела должна проходить ось вращения, чтобы момент инерции относительно этой оси имел наименьшее зна­чение?

12. Сформулируйте теорему Штейнера.

13. Что такое момент импульса? Как направлен вектор момента импульса?

14. Запишите формулу момента импульса: а) для абсолютно твердого тела; б) для материальной точки.

15. Сформулируйте и запишите математически основной закон динамики вращательного движения в самой общей форме.

16. Сформулируйте и запишите математически основной закон динамики вращательного движения в частном случае вращения тела с неизменным моментом инерции (I= const).

4. РАБОТА, МОЩНОСТЬ, ЭНЕРГИЯ

4.1. Работа и мощность при поступательном движении

Энергия – универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др.

Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работа силы.

Если тело движется прямолинейно, и на него действует постоянная сила F, которая составляет угол a с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы F_s на направление перемещения, умноженной на перемещение точки приложения силы:

A = F×s cosa = F_s × s. (4.1)

Из формулы (4.1) следует, что при a < p/2 работа силы положительна, в этом случае составляющая F_S совпадает по направлению с вектором скорости движения v (рис.4. 1). При a > p/2 работа силы отрицательна. При a = p/2 (сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю.

Единица работы – джоуль (Дж). По своему смыслу 1 Дж – работа, совершаемая силой в 1 Н на пути в 1 м (1 Дж = 1 Н×м).

В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, и тогда формулой (4.1) пользоваться нельзя. Если, однако, рассмотреть элементарное перемещение dr, то силу F можно считать постоянной, а движение тела – прямолинейным. Элементарной работой силы F называется скалярная величина

, (4.2)

где точка – знак скалярного произведения векторов; a – угол между векторами и ; – элементарный путь; F_s = F cosa – проекция вектора на вектор (см. рис. 4.1).

Работа силы на конечном участке траектории от точки 1 до точки 2 равна при этом алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Запись такой суммы через интеграл имеет вид

. (4.3)

Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость силы F_s от пути s вдоль траектории 1-2. Эту зависимость можно представить графически. Если, например, тело движется прямолинейно и сила F = const (рис. 4.2), то

, (4.4)

где s – пройденный телом путь. Тогда искомая работа А определяется на графике площадью закрашенной фигуры.

В случае F ≠ const (рис. 4.3) работа также может быть изображена как площадь фигуры под кривой зависимости F_s(s).

Действующую на материальную точку силу F называют консервативной, если работа, совершаемая этой силой при перемещении точки из одного произвольного положения в другое, не зависит от формы траектории.

При перемещении материальной точки вдоль замкнутой траектории, работа консервативной силы тождественно равна нулю.

Силы, работа которых зависит от траектории перемещения точки, называются неконсервативными.

Примерами консервативных сил могут служить силы тяготения, упругости, электростатического взаимодействия между заряженными телами. К неконсервативным силам относятся силы трения, магнитные силы.

Чтобы характеризовать интенсивность совершения силой работы, вводится понятие мощности. Мощность – это скалярная физическая величина, характеризующая быстроту совершения работы и численно равная работе, совершаемой за единицу времени.

В соответствии с этим определением средняя мощность N _ср = ∆ A /∆ t.

Мгновенная мощность есть предел средней при ∆ t →0:

. (4.5)

За время d t сила F совершает работу F d r, так что мощность, развиваемая этой силой на элементарном участке пути,

, (4.6)

т.е. скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется тело.

Единица мощности – ватт (Вт); 1 Вт – мощность, при которой за время 1 с совершается работа в 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).

4.2. Работа и мощность при вращательном движении

Обсудим способ расчета совершенной работы при вращательном движении тела. Пусть сила F приложена к точке В тела, находящейся от оси вращения на расстоянии r, угол между направлением силы и радиусом-вектором обозначим a. Работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dj точка В проходит путь d s = r dj, так что работа

d A = F sin a r dj.

Учитывая, что момент силы относительно оси M_z = F×r ×sin a, можно записать:

d A= M_z dj. (4.7)

При повороте тела на конечный угол Dj работа равна интегральной сумме элементарных работ:

. (4.8)

В частном случае M_z= const

А _вр = М_z Dj. (4.9)

Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Определение мощности при вращательном движении ее определению при поступательном движении (4.5). Мгновенная мощность может также быть выражена через угловую скорость вращения. В случае действия постоянного вращательного момента

. (4.10)

4.3. Кинетическая энергия при поступательном движении

В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную.

Кинетическая энергия тела – это энергия, представляющая меру его механического движения и измеряемая той работой, которую может совершить тело при его торможении до полной остановки.

Найдем выражение для кинетической энергии твердого тела В, имеющего массу m и движущегося поступательно со скоростью v.

Пусть тело В тормозится, наталкиваясь на неподвижно закрепленное тело С и деформируя его. При этом тело В, действуя на тело С с некоторой силой F (в общем случае переменной), совершает на малом участке пути d s работу

d A = F_t d s.

По третьему закону Ньютона на тело В одновременно действует сила (– F), касательная которой (– F _t) вызывает изменение численного значения скорости тела. По второму закону Ньютона

.

Следовательно,

или . (4.11)

Работа, совершаемая телом В до полной остановки,

. (4.12)

Итак, кинетическая энергия поступательно движущегося тела равна половине произведения массы этого тела на квадрат его скорости:

. (4.13)

Из формулы (4.13) видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела и не может быть отрицательной (Е _к ³ 0). Выражение (4.13) справедливо, в частности, для кинетической энергии материальной точки.

Если в процессе движения скорость тела изменяется от v ₁ до v ₂, то работа силы, вызвавшей это изменение,

. (4.14)

Любую механическую систему можно рассматривать как совокупность материальных точек. Поэтому кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек, образующих эту систему:

, (4.15)

где m_i, v_i – масса и скорость i -й материальной точки.

Таким образом, кинетическая энергия системы полностью определяется величинами масс и скоростей движения входящих в нее материальных точек. Она не зависит от того, каким образом части рассматриваемой системы приобрели данные значения скоростей.

4.4. Кинетическая энергия вращающегося тела

Если вращающееся тело в процессе движения совершает работу А _вр и при этом тормозится, изменяя угловую скорость от ω₁ до w₂ (w₁ > w₂), то работа тормозящего момента силы определяется формулой (4.8), причем

M = I e = I (dw/d t).

Следовательно, изменение энергии тела можно представить в виде:

или

. (4.16)

Кинетическая энергия вращающегося тела равна половине произведения момента инерции тела на квадрат его угловой скорости.

4.5. Потенциальная энергия

Тело обладает не только энергией движения, но и энергией взаимодействия с другими телами. Однако пока тело неподвижно, запас его энергии никак не проявляется. Энергия существует скрыто, и можно говорить лишь о потенциальных возможностях этого тела передавать свою энергию другим телам.

Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Потенциальной энергией обладает, например, тело, поднятое над Землей, сжатая или растянутая пружина и т.д. Следует, однако, отметить, что не всякое состояние и не всякое взаимодействие может характеризоваться потенциальной энергией. Состояние взаимодействующих тел может характеризоваться потенциальной энергией, если между ними действуют консервативные силы.

В каждом конкретном случае величина потенциальной энергии зависит от характера взаимодействия и взаимного расположения тел (или частей тел). Потенциальная энергия физической системы может изменяться, если действующие силы совершают работу:

D Е _п = –А = А′. (4.17)

Здесь А – работа внутренних, а А′ – работа внешних для данной системы сил. Знак «минус» показывает, что внутренние силы совершают работу за счет убыли потенциальной энергии.

Получим формулы для вычисления потенциальной энергии в двух практически важных случаях: 1 – для сил тяготения, 2 – для упругих сил.

1. Найдем работу, которую совершает сила тяготения со стороны Земли, действующая на некоторое тело при его перемещении по произвольному пути из точки 1, находящейся на высоте h ₁ над поверхностью Земли, в точку 2, находящуюся на высоте h ₂. Перемещение может происходить по любому пути (рис. 4.4).

Элементарная работа, совершаемая силой тяготения при бесконечно малом перемещении d r

соs a. (4.18)

Полная работа на конечном участке пути

. (4.19)

Здесь учтено, что проекция перемещения d r на направление h отрицательна и d r cosa = -d h.

Из уравнения (4.19) видно, что работа, совершаемая силой тяготения при изменении высоты тела над поверхностью Земли, зависит только от начального и конечного положения тела относительно Земли и не зависит от формы пути, по которому происходило перемещение из начальной точки 1 в конечную точку 2. Это означает, что силы тяготения являются консервативными.

Потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная Е _п по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в некотором положении выбирают нулевой, а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня. Обычно таким нулевым уровнем отсчета выбирают поверхность Земли. Тогда потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли на высоту h

E _п = mgh. (4.20)

Говоря об энергии, следует иметь в виду, что она всегда характеризует систему, состоящую, по крайней мере, из двух тел, и нет смысла говорить о движении или взаимодействии данного тела, если не указано другое тело, относительно которого данное тело движется или с которым оно взаимодействует.

Как видно из формулы (4.19), работа, совершаемая силой тяготения при изменении относительного расположения тела и Земли, равна убыли потенциальной энергии этой системы. Таким образом, когда потенциальная энергия тела уменьшается, работа силы тяготения положительна, и наоборот. Сила тяжести в данной системе является внутренней.

2. Мы рассмотрели потенциальную энергию, зависящую от взаимного расположения различных макроскопических тел. Теперь рассмотрим потенциальную энергию, зависящую от взаимного расположения частей одного и того же тела, например от расстояния между соседними витками растянутой или сжатой пружины.

Опыт показывает, что для того чтобы сжать (или растянуть) пружину, необходимо приложить внешнюю силу. Эта сила в процессе деформации пружины совершает работу. В результате потенциальная энергия пружины увеличивается. Освобожденная от внешнего воздействия, пружина восстанавливает свою форму под действием силы упругости и совершает при этом работу.

Вычислим работу, которую совершает внешняя сила при удлинении пружины от величины х ₁до величины х ₂ (х ₁ < х ₂).

Сила упругости пропорциональна деформации: F_{x упр} = – kx, где F_{х упр} – проекция силы упругости на ось х; k – коэффициент упругости, а знак минус указывает, что F_{х упр.} направлена в сторону, противоположную деформации х.

По третьему закону Ньютона деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направлена, т. е.

F_x = – F_{x упр.} = kx.

Элементарная работа d A, совершаемая внешней силой F_x при малой деформации d x, равна

d A = F_x d x = kx d x,

а полная работа

. (4.21)

Из формулы (4.21) видно, что произведенная работа не зависит от того, каким образом произошло изменение длины пружины. Упругая сила, также как и сила тяготения, консервативна.

Принимая за нулевую потенциальную энергию недеформированной пружины (Е _п = 0 при х = 0), получаем выражение потенциальной энергии деформированной пружины в виде

Е _п,упр. = kx²/ 2. (4.22)

Потенциальная энергия системы, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

4.6. Силы и потенциальная энергия

Зная потенциальную энергию как функцию координат взаимодействующих материальных точек, можно вычислить действующие на эти точки силы.

Рассмотрим сначала отдельную материальную точку, находящуюся в силовом поле неподвижных тел. Если силы консервативные, то можно ввести потенциальную энергию Е _п, которой обладает материальная точка в рассматриваемом силовом поле. Величина Е _п будет функцией радиуса-вектора этой точки или ее координат x, y, z. Пусть точка переместилась на бесконечно малую величину . Если F - сила, действующая на нее, то работа этой силы при таком перемещении будет равна убыли потенциальной энергии:

. (4.23)

В проекциях x, y, z уравнение (4.23) запишется в виде

F_x d x + F_y d y +F_z d z = - d E _п. (4.24)

Допустим, что смещение происходит вдоль какой-либо одной координатной оси, например х. Тогда F_x d x =- [d E _п] _y,z и, следовательно,

.

Индексы y, z означают, что при смещении, а следовательно, и при дифференцировании координаты y и z не должны изменяться. Величины, получающиеся в результате такого дифференцирования, называются частными производными функции Е _п. Они обозначаются символом ¶, в отличие от символа d, применяемого при дифференцировании функций одного независимого переменного. Аналогичные соображения справедливы и для проекций силы вдоль остальных двух осей y, z. Таким образом,

F_x = - (∂Е _п /∂х), F_y = - (∂Е _п /∂y), F_z = - (∂Е _п /∂z). (4.25)

Три формулы (4.25) можно объединить в одну векторную формулу. Для этого умножим их на единичные векторы координатных осей и сложим. В результате получим:

F = - grad Е _п, (4.26)

где

. (4.27)

Вектор, определяемый выражением (4.27), называется градиентом скаляра Е _п. Для него наряду с обозначением grad Е _п применяется также обозначение Ñ Е _п, значок Ñ (набла) означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона или набла-оператором:

. (4.28)

4.7. Закон сохранения энергии

С одной стороны, согласно уравнению (4.14) работа, совершаемая движущимся телом при изменении его скорости от v ₁ до v ₂, определяется изменением кинетической энергии данного тела:

.

С другой стороны, совершаемая внутренней силой работа равна убыли потенциальной энергии: А =- D Е _п. Из этих двух уравнений можно получить:

Е _к1 +Е _п1 = Е _к2 +Е _п2. (4.29)

Сумма кинетической и потенциальной энергий системы: Е = Е _к + Е _п, называется ее полной энергией. Таким образом, Е ₁ = Е ₂ или

Е = Е _к + Е _п = const. (4.30)

В системе с одними только консервативными силами полная энергия остается неизменной. Могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую и обратно, но полный запас энергии системы измениться не может. Это положение называется законом сохранения энергии в механике.

Механические системы, в которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. Закон сохранения механической энергии можно сформулировать так: в консервативных системах полная механическая энергия сохраняется.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени, т.е. инвариантностью физических законов относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном падении тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда тело начало падать.

Существует еще один вид систем – диссипативные системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс называется диссипацией (или рассеянием энергии).

В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая энергия не сохраняется. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом и заключается физическая сущность закона сохранения энергии – сущность неуничтожимости материи и ее движения.

4.8. Применение законов сохранения к соударениям тел

Рассмотрим применение законов сохранения механической энергии и импульса к расчету абсолютно упругого центрального удара двух тел.

Абсолютно упругим называют такой удар, в результате которого не происходит превращения механической энергии системы соударяющихся тел в другие виды энергии.

Пусть два абсолютно упругих шара с массами m ₁ и m ₂ до удара движутся поступательно со скоростями v ₁и v ₂, направленными в одну и ту же сторону вдоль линии их центров, причем v ₁ > v ₂. Нужно найти скорости шаров u ₁и u ₂ после соударения (рис. 4.5).

В процессе удара систему соударяющихся тел можно считать замкнутой. При абсолютно упругом ударе она, кроме того, консервативна. Следовательно, для решения этой задачи можно воспользоваться законом сохранения механической энергии и импульса. Перед ударом и после его завершения соударяющиеся тела не деформированы, т.е. потенциальную энергию системы в этих двух состояниях можно считать одинаковой и равной нулю. Тогда из закона сохранения механической энергии имеем

. (4.31)

По закону сохранения импульса

. (4.32)

При прямом центральном ударе векторы скоростей шаров до и после удара направлены вдоль одной прямой – линии удара. Поэтому из (4.32) следует, что

, (4.33)

где v ₁, v ₂, u ₁ и u ₂ - проекции векторов и на ось координат, параллельную линии удара. Совместное решение уравнений (4.31) и (4.33) дает

, . (4.34)

В формулах (4.34) скорости v ₁ и v ₂ могут иметь как одинаковые, так и противоположные знаки в зависимости от направлений векторов и .

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1. Массы шаров одинаковы (m ₁ = m ₂ = m). Тогда из выражения (4.34) следует, что

u ₁ = v ₂, u ₂ = v ₁,

т.е. при ударе шары обмениваются скоростями.

2. Масса второго шара во много раз больше массы первого (m ₂ >>m ₁). Тогда

u ₁ 2 v ₂ – v ₁, u ₂ v ₂.

Если при этом второй шар до удара был неподвижен (v ₂= 0), то

u ₁ = - v ₁, u ₂ = 0,

т.е. первый шар отскакивает от неподвижного массивного шара и движется в обратную сторону со скоростью u ₁ = -v ₁.

При абсолютно неупругом ударе потенциальная энергия деформации не возникает; кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара столкнувшиеся тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса, закон сохранения механической энергии не соблюдается. Из выражения (4.35), положив u ₁ = u ₂ = u, найдем скорость движения шаров после абсолютно неупругого удара:

.

В заключение приводятся таблица аналогий в описании поступательного и вращательного движений (характеристики и законы).

Таблица 4.1

Аналогии в описании поступательного и вращательного движений

Поступательное движение	Вращательное движение
N пост =Fτ v	N вр = М врω

Вопросы для самоконтроля

1. Какая величина называется энергией, а какая – работой?

2. Какая из двух величин – энергия и работа – является функцией состояния, а какая – процесса?

3. Как выражается в поступательном движении механическая работа: а) постоянной силы, направленной под углом к перемещению; б) нескольких постоянных сил; в) переменной силы; г) силы упругости; д) силы тяготения?

4. Изобразить графически работу: а) постоянной силы; б) переменной силы;

5. Как выражается работа во вращательном движении: а) при М = const; б) при М = f (t)?

6. Какая величина называется мощностью?

7. Как записывается выражение средней мощности и мгновенной мощности?

8. Каково выражение мощности во вращательном движении?

9. Какая энергия называется кинетической, а какая – потенциальной?

10. Как выражается кинетическая энергия при поступательном и вращательном движениях?

11. Какие системы называются консервативными, а какие диссипативными?

12. Какие силы называются консервативными, какие – неконсервативными?

13. Сформулируйте закон сохранения энергии.

14. Как выражается потенциальная энергия?

15. Какой удар называется абсолютно упругим, какой – абсолютно неупругим?

16. Написать законы сохранения энергии и импульса для абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов.

5. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

5.1. Механические колебания

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. Таким свойством повторяемости обладают, например, качания маятника часов, колебания струны или ножек камертона, напряжение между обкладками конденсатора в контуре радиоприемника и т. д.

В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания механические, электромагнитные, электромеханические и т.д.

Колебания широко распространены в природе и технике. Во многих случаях они играют отрицательную роль. Колебания моста, возникающие из-за толчков, сообщаемых ему колесами поезда при прохождении через стыки рельсов, колебания корпуса корабля, вызванные вращением гребного винта, вибрации крыльев самолета, – все эти процессы могут привести к катастрофическим последствиям. В подобных случаях задача заключается в том, чтобы предотвратить возникновение колебаний или, во всяком случае, воспрепятствовать тому, чтобы колебания достигли опасных размеров.

Вместе с тем колебательные процессы лежат в самой основе различных отраслей техники. Например, на колебательных процессах основана вся радиотехника.

В зависимости от характера воздействия на колебательную систему различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными или собственными называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок, либо после того, как она была выведена из положения равновесия. Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити (маятник).

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силы. Примером служат колебания маятника настенных часов. Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой – система сама управляет внешним воздействием. Примером автоколебательной системы являются часы, в которых маятник получает толчки за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины, причем эти толчки происходят в моменты прохождения маятника через среднее положение.

При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например длины нити, к которой подвешен шарик, совершающий колебания.

Простейшими являются гармонические колебания, т.е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника) изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам:

1) колебания в природе и технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническим;

2) периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

5.2. Гармонические колебания

Рассмотрим систему, представляющую собой шарик массой m, подвешенный на нити. Сообщим шарику смещение x = A, после чего предоставим систему самой себе. Под действием квазиупругой силы (силы, зависящие от смещения по закону F_x = - kx, независимо от их природы называются квазиупругими) шарик будет двигаться к положению равновесия с возрастающей скоростью

.

При этом потенциальная энергия системы будет убывать, но зато появится все возрастающая кинетическая энергия

.

Достигнув положения равновесия, шарик продолжит движение по инерции. Это движение будет замедленным и прекратится тогда, когда кинетическая энергия полностью перейдет в потенциальную, т.е. когда смещение шарика станет равным (- А). Затем аналогичный процесс будет протекать при движении шарика в обратном направлении. Если трение в системе отсутствует, то полная энергия должна сохраняться, и шарик будет двигаться в пределах от х = А до х = - А неограниченно долго.

Уравнение второго закона Ньютона для шарика имеет вид

. (5.1)

Введя обозначение

, (5.2)

преобразуем уравнение (5.1) следующим образом:

. (5.3)

Итак, при отсутствии сил трения движение под действием квазиупругой силой описывается уравнением (5.3). Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение собственных незатухающих колебаний.

5.2.1. Кинематические характеристики гармонического колебания

Общее решение уравнения (5.3) имеет вид:

x = A cos (ω₀ t + α), (5.4)

где А и α – произвольные постоянные.

Таким образом, смещение х изменяется со временем по закону косинуса. Следовательно, движение системы, находящейся под действием силы вида F = - kx, представляет собой гармоническое колебание. Реальные колебания бывают гармоническими, если они малые, любые конечные колебания ангармоничны.

График гармонического колебания, т.е. график функции (5.4), показан на рис. 5.1. По горизонтальной оси отложено время t, по вертикальной оси – смещение х.

Поскольку косинус изменяется в пределах от –1 до +1, значения х лежат в пределах от – А до + А. Величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия называется амплитудой колебания. Амплитуда А - постоянная положительная величина. Ее значение определяется величиной начального отклонения или толчка, которым система была выведена из положения равновесия.

Величина (w₀ t +a), стоящая под знаком косинуса, называется фазой колебания. Она характеризует состояние колеблющейся системы в произвольный момент времени t. Постоянная a, характеризующая состояние системы в начальный момент времени t = 0, называется начальной фазой колебания. Поскольку косинус – периодическая функция с периодом 2p, различные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются через такой промежуток времени Т, за который фаза колебания получает приращение, равное 2p (рис.5.1). Этот промежуток времени называется периодом колебания. Он может быть определен из условия , откуда

. (5.5)

Число колебаний, совершающихся в единицу времени, называется частотой колебания n. Частота связана с периодом колебания Т следующим образом:

. (5.6)

За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1 с. Эту единицу называют герцем (Гц). Частота в 10³ Гц называется килогерцем (кГц), в 10⁶ Гц – мегагерцем (МГц).

Из соотношения (5.5) следует, что:

. (5.7)

Таким образом, w₀ дает число колебаний за 2p секунд. Величина w₀ называется циклической (круговой) собственной частотой колеблющейся системы. Она связана с частотой n соотношением

w₀ = 2pn. (5.8)

Продифференцировав (5.4) по времени, получим выражение для скорости тела, совершающего колебательное движение:

v = -A w₀ sin (w₀ t + a) = A w₀ cos (w₀ t + a + ). (5.9)

Как видно из (5.9), скорость также изменяется по гармоническому закону, причем амплитуда колебаний скорости A w₀. Из сравнения (5.4) и (5.9) следует, что скорость с амплитудой А w₀опережает смещение по фазе на .

Продифференцировав (5.9) по времени еще раз, найдем выражение для ускорения этого тела:

а = -A cos (w₀ t + a) =

=A cos (w₀ t + a + p). (5.10)

Как следует из (5.10), ускорение и смещение меняются в противофазе. Это означает, что в тот момент, когда смещение достигает положительного наибольшего значения, ускорение достигает наибольшего по модулю отрицательного значения, и наоборот.

На рис. 5.2 сопоставлены графики для смещения, скорости и ускорения.

5.2.2. Динамические характеристики гармонического колебания

Сила прямо пропорциональна смещению и направлена к положению равновесия, т.е. F = -kx. Подставив в это выражение значения k и x из (5.2) и (5.4), получим:

F = -A cos (w₀ t + a) = ma.

Как видно из этого выражения, период и фаза силы совпадает с периодом и фазой ускорения.

Квазиупругая сила является консервативной, поэтому полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия Е состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения Е _п,max:

E = Е _п,max = . (5.11)

При прохождении же системы через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в эти моменты достигает своего наибольшего значения Е _к,max:

E = E _к,max = . (5.12)

Выясним, как изменяются со временем кинетическая и потенциальная энергии гармонического колебания. Кинетическая энергия (с учетом выражения (5.9))

E _к = sin² (w₀ t + a). (5.13)