Сложение колебаний одной частоты,

направленных вдоль одной прямой

Пусть тело участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одной частоты w₀.Смещение х колеблющегося тела будет суммой смещений х ₁ и х ₂, которые запишутся следующим образом:

х ₁ = А ₁ cos (w₀ t + a₁),

x ₂ = A ₂ cos (w₀ t+ a₂). (5.31)

Представим оба колебания с помощью векторов А ₁ и А ₂(рис. 5.6). Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор А. Проекция этого вектора на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов:

х = х ₁ + х ₂.

Следовательно, вектор А представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью w₀, что и векторы А ₁ и А ₂,так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой w₀, амплитудой А и начальной фазой a. Из построения видно, что

А ² =А -2 А ₁ А ₂cos cos (), (5.32)

. (5.33)

Проанализируем выражение (5.32) для амплитуды:

1. Если разность фаз обоих ко­ле­­ба­ний a₂ - a₁ = 0, то амплитуда ре­зуль­тирующего колебания А = А ₁ + А ₂ .

2. Если a₂ - a₁ = , т.е. оба колебания находятся в противофазе, то .

Если частоты колебаний х ₁ и х ₂неодинаковы, векторы А ₁ и А ₂будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий вектор А пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. Результирующим движением в этом случае будет не гармоническое колебание, а некоторый сложный процесс.

Биения

Особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания мало отличаются по частоте. Результирующее движение при этих условиях можно рассматривать как гармонические колебания с пульсирующей амплитудой. Такие колебания называются биениями.

Обозначим частоту одного из колебаний через w, а частоту второго колебания через w + Dw. По условию Dw << w. Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и равными А. Допустим, что начальные фазы обоих колебаний равны нулю, тогда уравнения колебаний будут иметь следующий вид:

x ₁ = A cos w t, x ₂ = A cos (w + Dw) t. (5.34)

Складывая эти выражения и применяя тригонометрическую формулу для суммы косинусов, получим

x = x ₁ + x ₂ = (2 A cos ) cos w t (5.35)

(во втором множителе пренебрегаем членом Dw/2 по сравнению с w). График функции (5.35) представлен на рис. 5.7, а. Изображен случай w/Dw = 10.

Рис. 5.7.

Заключенный в скобки множитель в формуле (5.35) изменяется гораздо медленнее, чем второй множитель. Вследствие условия w >> Dw за то время, за которое множитель cos w t совершает несколько полных колебаний, множитель, стоящий в скобках, почти не изменится. Это дает нам основание рассматривать колебание (5.35) как гармоническое колебание частоты w, амплитуда которого изменяется по некоторому периодическому закону. График амплитуды показан на рис. 5.7, б. Аналитическое выражение амплитуды, очевидно, имеет вид

Амплитуда = . (5.36)

Выражение (5.36) является периодической функцией с частотой, в 2 раза превышающей частоту выражения, стоящего под знаком модуля, т.е. с частотой Dw. Таким образом, частота пульсаций амплитуды – ее называют частотой биения – равна разности частот складываемых колебаний.

5.4.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим результат сложения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одной частоты w₀, происходящих вдоль координатных осей x и y. Если возбудить оба колебания, то материальная точка будет двигаться по некоторой, вообще говоря, криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаз обоих колебаний.

Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x = A cos w₀ t, y = B cos(w₀ t + a), (5.37)

где a - разность фаз обоих колебаний.

Выражение (5.37) представляет собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой движется тело, участвующее в обоих колебаниях. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (5.37) параметр t. Из первого уравнения следует, что

. (5.38)

Следовательно, sin w₀ t = . (5.39)

Теперь развернем косинус во втором из уравнений (5.37) по формуле для косинуса суммы, подставляя при этом вместо cos w₀ t и sin w₀ t их значения (5.38) и (5.39). В результате получим

. (5.40)

Последнее уравнение после несложных преобразований можно привести к виду

+ = sin² a. (5.41)

Из аналитической геометрии известно, что уравнение (5.41) есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей x и y произвольно. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят довольно сложным образом от амплитуд А и В и разности фаз a.

Исследуем форму траектории в некоторых частных случаях:

1. Разность фаз равна нулю, т.е. a = 0. В этом случае уравнение (5.41) принимает вид

,

откуда получается уравнение прямой

. (5.42)

Колеблющаяся точка перемещается по этой прямой, причем расстояние ее от начала координат . Подставляя сюда выражение (5.37) для x и y и учитывая, что a = 0, получим закон, по которому r изменяется со временем:

. (5.43)

Из (5.43) следует, что результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль прямой с частотой w₀ и амплитудой, равной (рис. 5.8).

2. Разность фаз a= ±p. Уравнение (5.41) имеет вид

,

откуда получается, что результирующее движение пред­ставляет собой гармоническое колебание вдоль прямой (рис. 5.9.)

.

3. При a = ± p/2 уравнение (5.41) переходит в уравнение эллипса

, (5.44)

приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд эллипс вырождается в окружность.

Случаи и отличаются направлением движения по эллипсу или по окружности. Если при уравнение (5.41) можно записать следующим образом:

x =A cos w₀ t, y = - B sin w₀ t, (5.45)

то в момент t = 0 тело находится в точке 1 (рис. 5.10). В последующие моменты времени координата x уменьшается, а координата y становится отрицательной. Следовательно, движение совершается по часовой стрелке.

При уравнения колебания имеют вид

x = A cos w₀ t, y = B sin w₀ t. (5.46)

Отсюда можно заключить, что движение происходит против часовой стрелки.

Из сказанного следует, что равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью w₀ может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:

x = R cos w₀ t, y = ± R sin w₀ t, (5.47)

(знак «+» в выражении для y соответствует движению против часовой стрелки, знак «-» – движению по часовой стрелке).

В случае, когда частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются на очень малую величину Dw₀, их можно рассматривать как колебания одинаковой частоты, но с изменяющейся разностью фаз. В самом деле, уравнения колебаний можно представить следующим образом:

x = A cos w₀ t,

y= B cos [w₀ t+ (Dw₀ t + a)], (5.48)

и выражение Dw₀ t +a рассматривать как разность фаз, медленно изменяющуюся со временем по линейному закону.

Результирующее движение в этом случае происходит по медленно видоизменяющейся кривой, которая последовательно принимает форму, отвечающую всем значениям разности фаз от -pдо +p.

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего дви­жения имеет вид довольно слож­ных кривых, называемых фи­гурами Лиссажу. На рис. 5.11 показана одна из прос­тейших траекторий, получающа­я­ся при отношении частот 1:2 и разности фаз, равной p/2.

Уравнения колебаний имеют сле­дующий вид

X = A cos w₀ t, y = B cos (2w₀ t+ p/2).

За то время, пока вдоль оси x точ­ка успевает переместиться из одного крайнего положения в другое, вдоль оси y, выйдя из нулевого положения, она успевает достигнуть одного крайнего положения, затем другого и вернуться в нулевое положение.

При отношении частот 1:2 и разности фаз, равной нулю, траектория вырождается в незамкнутую кривую (рис. 5.12), по которой точка движется туда и обратно.

Чем ближе к единице дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем сложнее оказывается фигура Лиссажу. На рис. 5.13. для примера показана кривая для отношения частот 3:4 и разности фаз, равной p/2.