Третий закон Ньютона и закон сохранения импульса

Опыт показывает, что воздействие тел друг на друга всегда является взаимным, парным и силы всегда возникают парами. Если тело 1 действует на тело 2 с силой , то, в свою оче­редь, тело 2 действует на тело 1 с силой , при­чем силы взаимодействия равны по величине и противоположны по направлению (рис. 2.2).

В этом заключается суть третьего закона Ньютона: всякому действию есть равное и противоположное противодействие; иначе, силы, с которыми взаимодействуют тела, равны по величине и противоположны по направлению:

. (2.6)

Этот закон является следствием закона сохранения импульса для пары тел. В самом деле, если от выражающего этот закон уравнения взять производную по времени, получим

,

что с учетом (2.5а) дает уравнение (2.6).

2.7. Преобразования и принцип относительности Галилея

Уравнение , выражающее второй закон Ньютона, показывает, что этот закон не может быть справедлив в любой системе отсчета. Действительно, ускорение тела различно в системах отсчета, движущихся друг относительно друга с ускорением. В то же время действующая на тело сила определяется только взаимным расположением и скоростями тел физической системы, а значит, от выбора системы отсчета не зависят.

Второй закон Ньютона выполняется в инерциальных системах отсчета. Их множественность и равноправие при описании движения тел, а вследствие этого эквивалентность состояния покоя и прямолинейного равномерного движения доказываются так называемыми преобразованиями Галилея, связывающими значения характеристик тела в различных системах отсчета.

При описании движения тел в ряде случаев бывает удобно использовать несколько различных систем отсчета. Обычно одну из них, условно неподвижную, называют лабораторной системой отсчета (ЛСО), другую – движущейся (ДСО).

Пусть ЛСО является инерциальной. Докажем, что если ДСО не имеет относительно нее ускорения, то она также инерциальная.

Положение тела в ЛСО зададим радиусом-вектором , в ДСО – радиусом-вектором (рис. 2.3). Положение начала отсчета ДСО – точки О' – описывается в ЛСО вектором . Из геометрических соображений очевидно, что

.

В классической механике постулируется, что время во всех системах отсчета течет одинаково: t = t'.

Если ДСО движется равномерно вдоль оси х ЛСО со скоростью , то , так что

. (2.7)

В координатной форме это выражение можно записать так:

(2.7а)

Эти соотношения и называются преобразованиями Галилея для координат.

Возьмем от уравнения (2.7) производную по времени:

,

т.е.

. (2.8)

Это уравнение связывает скорости тела в ЛСО и ДСО и носит название классического закона сложения скоростей.

Возьмем еще раз производную по времени:

,

что дает

.

Таким образом, ускорение тела в рассматриваемых системах отсчета одинаково, а потому система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы отсчета, также является инерциальной. Поскольку масса тела считается в классической механике одинаковой во всех системах отсчета, то это означает, что закон движения (второй закон Ньютона) во всех инерциальных системах отсчета имеет одинаковый вид.

В результате Галилей сформулировал принцип относительности: во всех инерциальных системах отсчета все механические процессы описываются одинаковыми законами и происходят одинаково.

Иначе говоря, уравнения механики Ньютона, описывающие движение физических тел инвариантны относительно преобразований Галилея.

А. Эйнштейн обобщил этот принцип: во всех инерциальных системах отсчета все физические процессы описываются одинаковыми законами и происходят одинаково.

2.8. Основной закон динамики поступательного движения

и закон сохранения импульса для системы материальных точек

1.Рассмотрим физическую си­стему, состоящую из N материальных точек (рис. 2.4). Пусть помимо внутренних сил , на i -ю частицу действуют внешние силы, результирующая которых равна . Запишем уравнения движения для каждой из частиц:

;

;

………………………………………………………………

;

………………………………………………………………

.

Сложим эти N уравнений. Вследствие того, что (согласно третьему закону Ньютона) и т.д., справа останутся только внешние силы. Таким образом, мы приходим к соотношению

. (2.9)

Сумму импульсов частиц, стоящую под знаком производной в левой части, назовем импульсом системы. Обозначив его , получим

. (2.10)

Из (2.10) следует, что импульс является аддитивной величиной.

Запишем соотношение (2.9) в виде

. (2.11)

Это уравнение выражает основной закон поступательного движения для системы материальных точек: скорость изменения импульса физической системы равна суммарной внешней силе.

2. Из уравнения (2.11) следует, что в отсутствии внешних сил

, (2.12)

т.е. суммарный импульс замкнутой системы тел остается постоянным (закон сохранения импульса для системы материальных точек). Иначе говоря, импульс системы тел может быть изменен только за счет действия внешних сил.

Отметим, что импульс остается постоянным и для незамкнутой системы при условии, что внешние силы в сумме дают нуль. В случае, когда сумма внешних сил не равна нулю, но проекция этой суммы на некоторое направление равна нулю, сохраняется составляющая импульса в этом направлении.

Вообще, в механике рассматривается три закона сохранения: импульса, момента импульса и энергии. Эти законы отражают фундаментальные свойства пространства-времени.

Закон сохранения импульса связан с однородностью пространства (равноправием различных его точек): физические процессы в различных точках пространства протекают одинаково.

Закон сохранения момента импульса (рассматривается в разделе 3)связан с изотропностью пространства (равноправием различных направлений).

Закон сохранения энергии (рассматривается в разделе 4)связан с однородностью времени (равноправием различных моментов времени).

Важнейшая роль законов сохранения как инструмента решения физических задач обусловлена рядом причин:

а) законы сохранения не зависят ни от траекторий частиц, ни от характера действующих сил. Поэтому они позволяют получить ряд общих и существенных заключений о свойствах различных механических процессов, не вникая в их детальное рассмотрение с помощью уравнений движения. Если, например, выясняется, что такой-то процесс противоречит законам сохранения, то можно утверждать: этот процесс невозможен, и бессмысленно пытаться его осуществить;

б) тот факт, что законы сохранения не зависят от характера действующих сил, позволяет использовать их даже тогда, когда силы вообще не известны. В этих случаях законы сохранения являются единственным и незаменимым инструментом исследования. Так, например, обстоит дело в физике элементарных частиц;

в) даже в тех случаях, когда силы в точности известны, законы сохранения могут оказать существенную помощь при решении многих задач о движение частиц. Хотя все эти задачи могут быть решены с помощью уравнений движения, привлечение законов сохранения очень часто позволяет получить решение наиболее простым и изящным путем, избавляя нас от громоздких и утомительных расчетов. Поэтому при решении новых задач обычно принято придерживаться следующего порядка: прежде всего один за другим применяют соответствующие законы сохранения и, только убедившись, что этого недостаточно, переходят затем к решению с помощью уравнения движения.

Законы сохранения относятся к числу фундаментальных принципов физики. Роль этих законов особенно возросла после того, как выяснилось, что они далеко выходят за рамки механики и представляют собой универсальные законы природы.

3. Вернемся к уравнению движения системы материальных точек. При поступательном движении удобно пользоваться понятием центра масс физической системы. Преобразуем выражение (2.10) для импульса системы точек ( – радиус-вектор, задающий положение k- ой материальной точки):

.

Точку c, положение которой задается уравнением

, (2.13)

будем называть центром масс (или центром инерции) системы. Центр масс имеет смысл точки приложения всех действующих на систему массовых сил.

Координаты центра масс определяются следующим образом:

Например, для изображенной на рис. 2.5 системы центр масс имеет координаты:

; .

Продифференцировав по времени выражение (2.13), получим формулу для вычисления скорости центра масс:

. (2.14)

Тогда импульс системы можно определить следующим образом:

. (2.15)

По аналогии с уравнением движения отдельной частицы можно записать уравнение движения центра масс системы материальных точек:

, (2.16)

где – суммарная внешняя сила, действующая на систему материальных точек; – импульс системы; M – масса системы материальных точек; – скорость движения центра масс системы; – ускорение центра масс.