Моделирование случайной величины с нормальным законом распределения

Пусть необходимо получить значения нормально распределённой случайной величины с требуемым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением .

Процесс формирования датчика случайной величины условно можно разбить на два этапа:

Этап 1. Пусть - значения независимой случайной величины распределённой с равномерным законом на интервале . Обозначим сумму через ,

.

Найдём математическое ожидание и дисперсию случайной величины

,

,

где плотность вероятности равномерно распределённой величины .

Далее находим математическое ожидание и дисперсию случайной величины

;

.

В результате получим

,

где - знак равномерного закона.

Переходим от случайной величины к стандартной нормально распределённой величине

(2.18)

с математическим ожиданием и .

Этап 2. Сформируем случайную величину с нормальным законом распределения используя величину

.

Выразим и получим

.

Тогда с учётом выражения (2.18), имеем

, (2.19)

где является параметром распределения. Если , то будет иметь равномерный закон распределения.

Рис. 2.39. Плотность вероятности нормального закона распределения случайной величины с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением . Кривая 1 соответствует полиномиальному виду нормального распределения. Кривая 2 – эмпирическая плотность вероятности при параметре распределения , объёме выборки . Кривая 3 – эмпирическая плотность вероятности при параметре распределения , объёме выборки .

Рис. 2.40. Плотность вероятности нормального закона распределения случайной величины с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением . Кривая 1 соответствует полиномиальному виду нормального распределения. Кривая 2 – эмпирическая плотность вероятности при параметре распределения , объёме выборки . Кривая 3 – эмпирическая плотность вероятности при параметре распределения , объёме выборки .

Литература

1. Лапко, А.В., Ченцов С.В., Крохов С.И., Фельдман Л.А. Обучающиеся системы обработки информации и принятия решений. - Новосибирск: Наука, 1996 - 296с.

2. Лапко А.В., Ченцов С.В. Непараметрические системы обработки информации: Учебное пособие. – М.: Наука, 2000. – 350 с.

3. Лапко В.А., Соколов М.И. Непараметрические методы обработки данных: Учеб. пособие. – Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2001. – 116 с.

4. Лапко В.А. Компьютерное моделирование систем и статистический анализ данных: Методические указания для выполнения лабораторных работ. – Красноярск: ИПУ КГТУ, 2006. – 16 с.

Дополнительная литература

1. Лапко А.В., Лапко В.А. Непараметрические системы обработки неоднородной информации. – Новосибирск: Наука, 2007. – 174 с.

2. Лапко А.В., Лапко В.А., Соколов М.И., Ченцов С.В. Непараметрические системы классификации. - Новосибирск: Наука, 2000. - 240с.

3. Рубан А.И. Методы анализа данных: Учебное пособие, 2–е изд. – Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004 – 319 с.

4. Деврой Л., Дьерди Л. Непараметрическое оценивание плотности (L1 - подход).- М.: Мир, 1988.- 407 с.

5. Айвазян СА., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 363 c.

6. Тарасенко Ф.П. Непараметрическая статистика.- Томск: ТГУ, 1976.- 292 с.

Контрольные вопросы

1. Дайте общую характеристику непараметрических оценок плотности вероятности случайных величин, их преимущества и условия применения.

2. Опишите порядок построения оценок плотности вероятности случайной величины в виде гистограммы..

3. Приведите технологию синтеза непараметрической оценки плотности вероятности типа Розенблатта-Парзена.

4. Какие условия накладываются на ядерную функцию в непараметрической оценке Розенблатта-Парзена.

5. Приведите примеры ядерных функций.

6. Дайте определения свойства асимптотической несмещённости и состоятельности непараметрических оценок плотности вероятности.

7. Сформулируйте постановку задачи определения оптимальной ядерной функции.

8. Какие существуют методы выбора коэффициентов размытости ядерных функций?

9. Опишите методику выбора коэффициентов размытости из условия максимума функции правдоподобия.

10. Запишите оценку Розенблатта-Парзена для многомерной случайной величины.

11. Как зависит точность непараметрической аппроксимации плотностей вероятности от вида ядерной функции и объема статистической выборки?

12. Дайте характеристику методики исследования асимптотических свойств «гладких» непараметрических оценок плотности вероятности.

13. Особенности интегральной оценки плотности вероятности и её оптимизация.

14. В чем состоит преимущество интегральной оценки плотности вероятности по сравнению с оценкой Розенблатта-Парзена?

15. Вычислите неявную ядерную функцию для интегральной оценки плотности вероятности при использовании ядра типа «ступенька».

16. Опишите методику построения регрессионной оценки плотности вероятности.

17. Запишите регрессионную оценку плотности вероятности для многомерной случайной величины и проверьте равенство .

18. Опишите особенности оптимизации регрессионной оценки плотности вероятности по коэффициенту размытости ядерных функций.

19. Объясните методику моделирование случайной величины с произвольным законом распределения.

20. Постройте датчик случайной величины с линейным законом распределения.

21. Объясните методику моделирование случайной величины с нормальным законом распределения.