Свойства оптимальных стратегий

Теорема Пусть Е-мат.ожидание выигрыша в прямоуг-ой игре с м-цей порядка mxn, имеющей цену V.Тогда, для того чтобы эл-т Х^* мн-ва S_m был оптимальной стратегией для Р₁ необх-мо и дост-но, чтобы для каждого эл-та Y мн-ва S_n имело место нер-во V £ E(X^*,Y).Анал-но, для того чтобы эл-т Y^* мн-ва S_nбыл оптимальной стратегией для Р₂ необх-мо и дост-но, чтобы для каждого эл-та X мн-ва S_m имело место нер-во E(X,Y^*) £ V.

Теорема Пусть Е-мат.ожидание выигрыша прямоуг-ой игры с м-цей порядка mxn, пусть V-действ-ое число, и пусть X^* и Y^* - соот-но эл-ты мн-в S_m и S_n. Тогда, для того чтобы V было ценой игры, а X^* и Y^* - оптимальными стратегиями соот-но для Р₁ и Р₂, необх-мо и дост-но, чтобы для 1 £ i £ m и 1 £ j £ n E(i,Y^*)£ V £ E(X^*,j).

Теорема Пусть Е-мат.ожидание выигрыша прямоуг-ой игры с м-цей порядка mxn, цена кот-рой есть V. Тогда, для того чтобы эл-т X^* мн-ва S_m был оптимальной стратегией для Р₁ необх-мо и дост-но, чтобы для 1 £ j £ n выполнялось V £ E(X^*,j). Анал-но, для того чтобы эл-т Y^* мн-ва S_n был оптимальной стратегией для Р₂ необх-мо и дост-но, чтобы для 1 £ i £ m выполнялось E(i,Y^*) £ V.

Теорема Пусть Е-мат.ожидание выигрыша прямоуг-ой игры с м-цей порядка mxn, пусть ||X^*Y^*|| - решение этой игры. Тогда max_{1 £ i £ m} E(i,Y^*)=min_{1 £ j £ n} E(X^*,j).

Теорема Пусть Е-мат.ожидание выигрыша для прямоуг-ой игры с м-цей порядка mxn, имеющей цену V, и пусть X^*=||x₁^*...x_m^*|| и Y^*=||y₁^*...y_n^*|| - оптимальные стратегии соот-но для Р₁ и Р₂. Тогда для любого i, при кот-ром E(i,Y^*) < V, имеет место рав-во x_i^*=0, а для любого j такого,что V < E(X^*,j), имеет место рав-во y_j^*=0.

Теорема Пусть Е-мат.ожидание выигрыша прямоуг-ой игры с м-цей порядка mxn, и пусть Х^* и Y^* - соот-но эл-ты мн-в S_m и S_n.Тогда имеют место следующие эквивал-ные утверждения:

1.X^* есть оптимальная стратегия для Р₁, а Y^* - для Р₂.

2.Если Х есть любой эл-т мн-ва S_m, а Y - любой эл-т мн-ва S_n, то E(X,Y^*) £ E(X^*,Y^*) £ E(X^*,Y).

3. Если i и j любые целые числа, такие, что 1 £ i £ m и 1 £ j £ n, то E(i,Y^*) £ E(X^*,Y^*) £ E(X^*,j).