Основные элементы

Будем рассматривать парную игру, в которой участвуют два игрока А и В с противоположными интересами. Под «игрой» будем понимать мероприятие, состоящее из ряда действий сторон А и В. Чтобы игра могла быть подвергнута математическому анализу, должны быть точно сформулированы правила игры. Под «правилами игры» разумеется система условий, регламентирующая возможные варианты действий обеих сторон, объем информации каждой стороны о поведении другой, последовательность чередования «ходов» (отдельных решений, принятых в процессе игры), а также результат или исход игры, к которому приводит данная совокупность ходов. Этот результат (выигрыш или проигрыш) не всегда имеет количественное выражение, но обычно можно, установив некоторую шкалу измерения, выразить его определенным числом. Например, в шахматной игре выигрышу можно условно приписать значение +1, проигрышу –1, ничьей 0.

Игра называется игрой с нулевой суммой, если один игрок выигрывает то, что проигрывает другой, т.е. сумма выигрышей обеих сторон равна нулю. В игре с нулевой суммой интересы игроков прямо противоположны. Здесь мы будем рассматривать только такие игры.

Так как в игре с нулевой суммой выигрыш одного из игроков равен выигрышу другого с противоположным знаком, то, очевидно, при анализе такой игры можно рассматривать выигрыш только одного из игроков. Пусть это будет, например, игрок А. В дальнейшем мы для удобства сторону А будем условно именовать «мы», а сторону В — «противник».

При этом сторона А («мы») будет всегда рассматриваться как «выигрывающая», а сторона В («противник») как «проигрывающая». Это формальное условие, очевидно, не означает какого-либо реального преимущества для первого игрока; легко видеть, что оно заменяется противоположным, если знак выигрыша изменить на обратный.

Развитие игры во времени мы будем представлять состоящим из ряда последовательных этапов или «ходов». Ходом в теории игр называется выбор одного из предусмотренных правилами игры вариантов. Ходы делятся на личные и случайные. Личным ходом называется сознательный выбор одним из игроков одного из возможных в данной ситуации ходов и его осуществление. Пример личного хода — любой из ходов в шахматной игре. Выполняя очередной ход, игрок делает сознательный выбор одного из вариантов, возможных при данном расположении фигур на доске. Набор возможных вариантов при каждом личном ходе регламентирован правилами игры и зависит от всей совокупности предшествующих ходов обеих сторон.

Случайным ходом называется выбор из ряда возможностей, осуществляемый не решением игрока, а каким-либо механизмом случайного выбора (бросание монеты, игральной кости, тасовка и сдача карт и т.п.). Например, сдача первой карты одному из игроков в преферанс есть случайный ход с 32 равновозможными вариантами. Чтобы игра была математически определенной, правила игры должны для каждого случайного хода указывать распределение вероятностей возможных исходов.

Некоторые игры могут состоять только из случайных ходов (так называемые чисто азартные игры) или только из личных ходов (шахматы, шашки). Большинство карточных игр принадлежит к играм смешанного типа, т.е. содержит как случайные, так и личные ходы.

Игры классифицируются не только по характеру ходов (личные, случайные), но и по характеру и по объему информации, доступной каждому игроку относительно действий другого. Особый класс игр составляют так называемые «игры с полной информацией». Игрой с полной информацией называется игра, в которой каждый игрок при каждом личном ходе знает результаты всех предыдущих ходов, как личных, так и случайных. Примерами игр с полной информацией могут служить шахматы, шашки, а также известная игра «крестики и нолики».

Большинство игр, имеющих практическое значение, не принадлежит к классу игр с полной информацией, так как неизвестность по поводу действий противника обычно является существенным элементом конфликтных ситуаций.

Одним из основных понятий теории игр является понятие «стратегии». Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих однозначно выбор при каждом личном ходе данного игрока в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры. Обычно решение (выбор) при каждом личном ходе принимается игроком в ходе самой игры в зависимости от сложившейся конкретной ситуации. Однако теоретически дело не изменится, если мы представим себе, что все эти решения принимаются игроком заранее. Для этого игрок должен был бы заблаговременно составить перечень всех возможных в ходе игры ситуаций и предусмотреть свое решение для каждой из них. В принципе (если не практически) это возможно для любой игры. Если такая система решений будет принята, это будет означать, что игрок выбрал определенную стратегию.

Игрок, выбравший стратегию, может теперь не участвовать в игре лично, а заменить свое участие списком правил, которые за него будет применять какое-либо незаинтересованное лицо (судья). Стратегия может быть также задана машине-автомату в виде определенной программы. Именно так в настоящее время играют в шахматы ЭВМ. Чтобы понятие «стратегии» имело смысл, необходимо наличие в игре личных ходов; в играх, состоящих из одних случайных ходов, стратегии отсутствуют.

В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на «конечные» и «бесконечные». Конечной называется игра, в которой у каждого игрока имеется только конечное число стратегий. Конечная игра, в которой игрок А имеет m стратегий, а игрок В — n стратегий, называется игрой mxn.

Или

Формализованная модель конфликта в теории игр называется игрой. Игра ведётся по определённым правилам, которые чётко определяют права и обязанности сторон, участвующих в игре, а также исход игры – выигрыш или проигрыш. Конфликтующие стороны называются игроками. Одна реализация игры называется партией. Выбор игроком того или иного действия называется ходом. Ходы бывают личные (игрок сознательно принимает то или иное решение) и случайные (исход игры не зависит от воли игрока). Набор правил, которые определяют, какой ход игроку необходимо сделать, называется стратегией. Стратегии бывают чистыми (неслучайные решения игроков) и смешанными (стратегию можно рассматривать как случайную величину).

Теория игр занимается изучением только стратегических игр. В настоящее время наиболее простой и проработанной является теория матричных игр двух игроков с нулевой суммой. «Нулевая сумма» означает, что сумма выигрыша одного игрока равна сумме проигрыша другого.

56. Матричные игры с седловой точкой. Оптимальные стратегии. (2 команды, конечная, с неполной информацией, 1 ход MINMAX & MAXMIN)

Матричные игры и понятие седловой точки. Рассмотрим более подробно антагонистические игры и их основные свойства. Удобным способом задания игры двух участников с нулевой суммой является платежная матрица. Отсюда, кстати, происходит еще одно их название — матричные игры. Каждый элемент платежной матрицы а_ij содержит числовое значение выигрыша игрока I (проигрыша игрока II), если первый применяет стратегию i, а второй — стратегию j. Термины выигрыш и проигрыш следует понимать в широком смысле, т. к. они могут принимать отрицательные значения и с житейской точки зрения означать противоположное. Нетривиальность задачи прежде всего заключается в том, что каждый из игроков делает свой выбор, не зная о выборе другого, что существенно осложняет процесс оптимизации выбираемой стратегии.

Классическим примером антагонистической игры является игра с двумя участниками, загадывающими независимо друг от друга числа. Предполагается, что если их сумма оказывается четной, то выигрыш, равный 1, достается первому игроку, а если нечетной, то второму. Положив, что для обоих игроков загадывание нечетного числа является первой стратегией, а четного — второй, можем записать платежную матрицу данной игры:

Строки матрицы (6.1) соответствуют стратегиям игрока I, столбцы — стратегиям игрока II, а ее элементы — результатам первого игрока. Также из определения игры следует, что элементы данной матрицы, взятые с обратным знаком, соответствуют выигрышам второго игрока.

Более сложная и содержательная платежная матрица может быть получена, если несколько модифицировать предложенную игру. Допустим, что оба участника имеют право загадывать числа от 1 до 4, что составляет их соответствующие стратегии. В случае, если результат сложения задуманных чисел будет четным, то второй игрок выплачивает первому получившуюся сумму, а если нечетным, то первый — второму. Запишем платежную матрицу для такой игры:

Некоторая условность и искусственность в постановке проблемы не должны в данном случае нас смущать, так как к подобной форме может быть сведена модель, описывающая, например, соревнование двух фирм за вновь открывшийся рынок сбыта продукции и т. п.

Как уже отмечалось, важнейшим в теории игр является вопрос об оптимальности решения (выбора стратегии) для каждого из игроков. Проанализируем с этой точки зрения некоторую матричную игру, для которой задана платежная матрица А =║ a_ij ║ _{m x n} . При выборе игроком I стратегии i его гарантированный доход независимо от действий игрока II составит min a_i,j. Поскольку он может выбирать i самостоятельно, то целесообразно этот выбор сделать таким, чтобы он при любой стратегии противника максимизировал величину гарантированного дохода, т. е. обеспечивал получение max (min a_i,j). Такой принцип выбора стратегии получил название «принцип максимина». С другой стороны, аналогичные рассуждения могут быть проведены по поводу действий второго игрока. Его наибольший проигрыш при выборе стратегии j составит max a_i,j, и, следовательно, ему следует выбирать стратегию так, чтобы минимизировать величину проигрыша при любых действиях соперника, т. е. обеспечить min (max a_i,j). в этом суть принципа минимакса.

Можно доказать справедливость следующего соотношения:

Однако очевидный интерес представляет ситуация, при которой значение выигрыша (платежа), получаемого игроком I при выборе им максиминной стратегии, равно платежу (проигрышу) II-го игрока при минимаксной стратегии

В этом случае говорят, что игра имеет седловую точку. Совпадение значений гарантированных выигрышей игроков при максиминной и минимаксной стратегии означает возможность достижения в игре некоторого оптимального (стабильного, равновесного) состояния, от которого невыгодно отклоняться ни одному из участников. Понятие «оптимальность» здесь означает, что ни один разумный (осторожный) игрок не стремится изменить свою стратегию, так как его противник, в принципе, сможет выбрать такую стратегию, которая даст худший для первого результат. Стратегии i* и j *, образующие седловую точку, называются оптимальными, а значение v = a_i*j* называют ценой игры. Тройка (i*, j*, v) считается решением матричной игры с седловой точкой.

Нетрудно заметить, что не всякая игра обладает седловой точкой. В частности, как игра (6.1), так и игра (6.2) седловой точки не имеют. Примером игры, имеющей седловую точку, является игра с платежной матрицей (6.5).

В данной матрице минимальные (гарантированные) выигрыши первого игрока по строкам равны 1, 5 и (-3). Следовательно, его максиминному выбору будет отвечать стратегия 2, гарантирующая выигрыш 5. Для второго игрока максимальные проигрыши по столбцам матрицы составят 8, 10, 5, 17, поэтому имеет смысл остановиться на стратегии 3, при которой он проиграет только 5. Таким образом, вторая стратегия первого игрока и третья стратегия второго образуют седловую точку со значением 5, т. е. для игры с матрицей (6.5) имеет решение (2; 3; 5).

57. Смешанные стратегии. Основная теорема теории игр. (ходы→∞).

Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры.

Смешанной стратегией S_A игрока А называется применение чистых стратегий A₁, A₂,..., A_m с вероятностями p₁, p₂,..., p_i,..., p_m причем сумма вероятностей равна 1: Смешанные стратегии игрока А записываются в виде матрицы

или в виде строки S_A = (p₁, p₂,..., p_i,..., p_m) Аналогично смешанные стратегии игрока В обозначаются:

, или,

SB = (q1, q2,..., qi,..., qn),

где сумма вероятностей появления стратегий равна 1:

Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных и задавать строкой, в которой 1 соответствует чистой стратегии. На основании принципа минимакса определяется оптимальное решение (или решение) игры: это пара оптимальных стратегий S*_A, S*_B в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры v. Цена игры удовлетворяет неравенству:

α ≤ v ≤ β

(3.5)

где α и β — нижняя и верхняя цены игры. Справедлива следующая основная теорема теории игр — теорема Неймана. Каждая конечная игра имеет по крайней мере одно оптимальное решение, возможно, среди смешанных стратегий. Пусть S*_A = (p*₁, p*₂,..., p*_i,..., p*_m) и S*_B = (q*₁, q*₂,..., q*_i,..., q*_n) — пара оптимальных стратегий. Если чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с отличной от нуля вероятностью, то она называется активной.

Справедлива основная теорема об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры v, если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.

Эта теорема имеет большое практическое значение — она дает конкретные модели нахождения оптимальных стратегий при отсутствии седловой точки.

Рассмотрим игру размера 2×2, которая является простейшим случаем конечной игры. Если такая игра имеет седловую точку, то оптимальное решение — это пара чистых стратегий, соответствующих этой точке.
Игра, в которой отсутствует седловая точка, в соответствии с основной теоремой теории игр оптимальное решение существует и определяется парой смешанных стратегий S*_A = (p*₁, p*₂) и S*_B = (q*₁, q*₂).

Для того чтобы их найти, воспользуемся теоремой об активных стратегиях. Если игрок А придерживается своей оптимальной стратегии S'_A, то его средний выигрыш будет равен цене игры v, какой бы активной стратегией ни пользовался игрок В. Для игры 2×2 любая чистая стратегия противника является активной, если отсутствует седловая точка. Выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) — случайная величина, математическое ожидание (среднее значение) которой является ценой игры. Поэтому средний выигрыш игрока А (оптимальная стратегия) будет равен v и для 1 -й, и для 2 -й стратегии противника.

Пусть игра задана платежной матрицей

Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную стратегию , а игрок В — чистую стратегию B₁ (это соответствует 1 -му столбцу платежной матрицы Р), равен цене игры v: a₁₁ p*₁+ a₂₁ p*₂= v. Тот же средний выигрыш получает игрок А, если 2 -й игрок применяет стратегию B₂, т.е. a₁₂ p*₁+ a₂₂ p*₂= v. Учитывая, что p*₁+ p*₂= 1, получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии S'_A и цены игры v:

(3.6)

Решая эту систему, получим оптимальную стратегию

(3.7)

и цену игры

(3.8)

Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании SВ*- оптимальной стратегии игрока В, получаем, что при любой чистой стратегии игрока А (А1 или А2) средний проигрыш игрока В равен цене игры v, т.е.

(3.9)

Тогда оптимальная стратегия определяется формулами: