Уравнение Бернулли. Решение уравнений движения Эйлера для установившегося потока

Решение уравнений движения Эйлера для установившегося потока

приводит к одному из наиболее важных и широко используемых уравнений гидродинамики – уравнению Бернулли.

Умножив левые и правые части каждого из уравнений соответственно на dx, dy, и dz и разделив на ρ жидкости, получим

2. Сложим эти уравнения, учитывая, что производные и выражают проекции W_x, W_y, W_z скорости на соответствующие оси координат.

Тогда

Слагаемые левой части этого уравнения могут быть представлены как

и, следовательно, их сумма

,

где W – величина вектора скорости, составляющие которой вдоль соответствующих осей равны W_x, W_y, W_z.

В то же время сумма членов, стоящих в скобках в правой части записанного уравнения представляет собой полный дифференциал давления dp (при установившихся условиях давление зависит только от положения точки в пространстве, но в каждой данной точке не меняется со временем).

Значит

Разделив обе части на g (ускорение силы тяжести) и перенося все его члены в левую часть, находим

,

причём для несжимаемой однородной жидкости ρ = const.

Сумма дифференциалов может быть заменена дифференциалом суммы, следовательно

, откуда

, Н называется гидродинамическим напором.

Данное уравнение является уравнением Бернулли для идеальной жидкости, перемещающейся без трения, т. е. при отсутствии потери напора. Следовательно, согласно уравнению Бернулли “для всех поперечных сечений установившегося потока идеальной жидкости величина гидродинамического напора остаётся неизменной”.

6. Гидродинамический напор Н складывается из следующих величин:

z - нивелирная высота, называемая также геометрическим напором h_г, представляет собой идеальную потенциальную энергию положения в данной точке (данном сечении);

- напор давления или пьезометрический, напор (h_давл), характеризует удельную потенциальную энергию давления в данной точке (данном сечении);

Сумма , называемая полным гидростатическим или просто статистическим напором (h_ст), следовательно, выражает полную удельную потенциальную энергию в данной точке (данном сечении).

- скоростной, или динамический, напор (h_ск), характеризует удельную кинетическую энергию в данной точке (данном сечении).

Размерность всех трех слагаемых в метрах.

Таким образом, согласно уравнению Бернулли, “при установившемся движении идеальной жидкости сумма потенциальной и кинетической энергии для каждого из поперечных сечений потока есть величина постоянная” или сумма скоростного и статистического напоров есть величина постоянная.

Уравнение Бернулли является частным случаем закона сохранения энергии и выражает энергетический баланс потока, а именно: при сужении трубы часть потенциальной энергии давления переходит в кинетическую, и наоборот, но общее количество энергии остаётся постоянным.

Отсюда следует, что для идеальной жидкости количество энергии, поступающей с потоком через начальное сечение трубопровода, равно количеству энергии, удаляющейся с потоком через конечное сечение трубопровода.

На практике имеют дело не с идеальными, а с реальными жидкостями, т. е. с такими, при движении которых возникают силы трения, обуславливаемые вязкостью жидкости, характером ее движения, трением о стенки трубопровода. На преодоление возникающих сопротивлений расходуется часть энергии, и общее количество энергии по длине трубопроводов будет непрерывно уменьшатся за счет перехода потенциальной энергии в энергию, затрачиваемую на трение, т. е. потерянную энергию.

В этом случае сумма членов уравнения Бернулли будет величиной постоянной только при учете потери энергии, тогда уравнение Бернулли приобретет вид:

h_п – потери энергии (напора) [м]

Данное уравнение может быть сформулировано так: для любого сечения трубопровода, в котором протекает реальная жидкость при установившемся движении, сумма скоростного напора (h_ск), статистического (h_ст), геометрического (h_г) и потерянного (h_г), есть величина постоянная.

При движении жидкости по горизонтальному трубопроводу при установившемся движении нивелирные высоты для всех сечений трубопровода будут одни и те же, значит величину z из уравнения Бернулли можно исключить.

Для любого сечения горизонтального трубопровода при установившемся движении жидкости общий напор равен сумме скоростного, статистического и потерянного напоров.