Дифференциальные уравнения движения реальной жидкости (Навье-Стокса)

При движении реальной (вязкой жидкости) в потоке жидкости действуют силы тяжести, гидростатического давления, трения.

Действия сил трения Т на выделенной в потоке вязкой жидкости элементарного параллелепипеда проявляются в возникновении на его поверхности касательных напряжений.

Знак «-» указывает на то, что касательное напряжение тормозит слой, движущийся с большей скоростью.

Возьмем случай одномерного плоского потока капельной жидкости в направлении оси Х, когда проекция w_x зависит только от расстояния z до горизонтальной плоскости отсчета. В этих условиях касательное напряжение возникает лишь на поверхностях верхней и нижней граней параллелепипеда.

Произведение выражает изменение касательного напряжения вдоль оси Z в точках, лежащих на нижней грани параллелепипеда. выражает изменение этого касательного напряжения вдоль всей длины ребра dz параллелепипеда.

Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось Х составит:

;

;

- проекция касательных напряжений на ось Х

В более общем случае (трехмерного потока) составляющая скорости w_x, будет изменяться не только в направлении z, но и в направлении всех трех осей координат, тогда проекция равнодействующей сил трения на ось Х примет вид:

Часть в скобках оператор Ла-Пласа

.

на ось Х

на ось Y

на ось Z

Проекции на оси координат равнодействующей всех сил(тяжести, гидростатического давления, трения) действующих на элементарный объем капельной жидкости с учетом проекций сил тяжести и давления полученных при выводе уравнений Эйлера составляет:

- проекции всех сил на Х

- на Y

- на Z

Масса жидкости, заключенная в элементе объема , ускорение . Раскладывая ускорение по осям координат и сокращая на dxdydz, получим дифференциальные уравнения Новье-Стoкса, описывающие движения вязкой капельной жидкости

Левые части уравнений выражают произведение массы единицы объема ϙ на проекцию ее ускорения, т.е. представляют собой проекцию равнодействующих сил инерции, возникающих в движущейся жидкости.

В правых частях тех же уравнений, произведение ϙg отражает влияние сил тяжести. Частные производные отражают влияние изменения гидростатического давления, произведения вязкости µ на сумму вторых производных проекций скорости отражает влияние сил трения на движущуюся жидкость. Каждая составляющая уравнения имеет размерность силы, отнесенной к единице объема жидкости.