Метод обобщенных переменных

Он составляет основу теории подобия. Подобными называют такие явления, для которых отношения сходственных и характеризующих их величин постоянны. Различают следующие виды подобия: - геометрическое; -временное; - физических величин; -начальных и граничных условий.

Геометрическое подобие: предполагает, что сходственные размеры натуры и модели параллельны, а их отношение выражается постоянной величиной. Строится модель, соблюдая геометрическое подобие. Если система в движении, то все ее точки перемещаются по подобным траекториям. Геометрическое подобие соблюдается при равенстве отношений всех сходственных размеров натуры и модели. D1/D2=L1/L2=…= a= const, где а- константа геометрического подобия (масштабный множитель). Она характеризует отношение однородных сходственных величин в подобных системах и позволяет перейти от размеров одной сис-мы к размерам другой.

Временное подобие: предполагает, что сходственные точки или части геометрически подобных систем, двигаясь по геометрически подобным траекториям, проходят геометрически подоббные пути в промежутке времени, отношение которых есть постоянная величина: T1/T2=Ʈ1/Ʈ2= a_Ʈ (где T1 и T2 – время прохождения сходственными частицами всего аппарата (натуры и модели); Ʈ1 иƮ2 – время прохождения сходственными частицами подобных путей, a_Ʈ – константа временного подобия).

Подобие физических величин: предполагает, что в рассматриваемых подобных системах отношение значений физических величин двух любых сходственных точек (частиц), подобно размещенных в пространстве и времени, есть величина постоянная.

Подобие начальных и граничных условий: предполагает, что начальное состояние и состояние на границах систем подобны, т.е. отношение основных параметров в начале и на границах систем постоянны. Это справедливо лишь в тех случаях, когда выдерживаются геометр-ое, временное, физическое подобия.

Инварианты подобия и критерии подобия: инвариантами подобия называют безразмерные числа i, выражающие отношение двух однородных величин в подобных системах; инварианты подобия, представляющие собой отношение однородных величин, называют симплексами (параметрическими критериями); критерии подобия – инварианты подобия, выраженные отношением разнородных величин, они безразмерны, их значения для каждой точки могут меняться. Явления подобные между собой, характеризуются численно равными критериями подобия. Равенство критериев подобия – единственное количественное условие подобия процессов.

- если отношение константы подобия = 1, то это индикатор подобия и указывает на равенство критериев подобия.

- если константы подобия найдены из условий однозначности, то образованные критерии называются определяемыми.

Любая зависимость между переменными, характеризующими какое-либо явление, может быть представлена в виде зависимости между критериями подобия: f (K1,K2,K3…)=0. Эту зависимость называют обобщенным уравнением, а К1,К2…-обобщенными переменными величинами.

Преобразование дифференциальных уравнений методами теории подобия: 1)формулировка подобий условий однозначности (задаются константы подобия); 2) каждый из элементов дифференциального уравнения умножают на соответствующие константы подобия, вынося последние за знак дифференциала; 3)приравнивают коэффициенты, стоящие при одинаковых слагаемых исходных и преобразованных уравнений; 4) в полученных индикаторах подобия константы подобия заменяют соответствующими отношениями величин, выводя критерии подобия и устанавливают зависимость между ними (критериальное ур-ие).

Анализ размерностей: размерностью называют выражение данной физической величины через величины, положенные в основу определенной системы единиц; анализ размерностей – учение о методах рационального построения систем единиц измерения. Величины делятся на: - первичные- численные значения устанавливаются прямым измерением; - вторичные – определяемые как функции первичных, выражается через первичные, представляет собой степенной комплекс, записывается в виде формулы размерности: [A]=L ^l M ^m T ^t , где [A]- символ размерности определяемой (вторичной) физической величины; L,M,T – символы измеренных (первичных) физических величин; l,m,t – целые/дробные, +/ - числа называемые показателями размерности (размерность), определяемой величины [A]. В основе метода анализа размерности лежит пи-теорема Бэкингема: число безразмерных комплексов равно числу всех физически разнородных величин n, существенных для процесса, за вычетом числа первичных величин m. Число критериев подобия: k=n – m.

Подобие гидродинамических процессов: Re=wd/v=wdρ/μ - критерий Рейнольдса, характеризует отношение сил инерции к силам трения и определяет режим движения во всех сходственных точках подобных систем. Критерий гомохронности: a_l/(a_w*a_t)=1, отсюда: w*t/l =Ho – критерий подобия, характеризующий неустановившееся состояние процесса, он имеет во всех сходственных точках одно и тоже значение. P1/ρ1*w²₁₌ P2/ρ2*w²₂. где P/(ρw²) – Критерий Эйлера – отражает влияние перепада гидростатического давления на движение жидкости и выражается: Eu=дельта P/(ρw²). Критерий Фруда – отражает влияние сил тяжести на движение жидкости: Fr= w²/(gl). Уравнение Навье-Стокса, описывает в общем виде процесс движения вязкой жидкости и может быть представлен в виде критериального уравнения: f (Ho,Eu,Fr,Re)=0 – обобщенное (критериальное) уравнение гидродинамики. Модифицированные критерии подобия – вводятся в том случае, когда скорость движения жидкости трудноопределима. Критерий Галилея – Ga= l³ρ²g/μ². Критерий Архимеда – Ar= Ga(ρ0 – ρ)/ρ.