Решение задач контрольной работы А

Задача 1. Для каждой части данной задачи есть много подходящих позиций. Задания следует считать правильно выполненными, если соблюдены следующие условия.

Выиграл Первый: на поле должен быть ряд из трёх крестиков, не должно быть ряда из трёх ноликов, а крестиков должно быть на один больше, чем ноликов.

Выиграл Второй: на поле должен быть ряд из трёх ноликов, не должно быть ряда из трёх крестиков, ноликов должно быть столько же, сколько и крестиков.

Ничья: все клетки поля должны быть заняты значками, среди которых должно быть пять крестиков и четыре нолика. При этом на поле не должно быть ни ряда из трех крестиков, ни ряда из трех ноликов.

При проверке решения не оценивается, насколько игра с такой заключительной позицией «правдоподобна», т. е. насколько игроки играли честно и не поддавались.

Задача 2. Здесь мы проверяем умение ребят заполнять таблицу кругового турнира. Обратите внимание, в обоих вариантах встречается ситуация, когда у двух игроков одинаковое число очков: более высокое место занял тот из них, кто победил в партии, которую они играли друг с другом.

Ответ:

Вариант 1

Вариант 2

Задача 3. Существует много подходящих цепочек игры. Решение следует считать правильным, если выполняются следующие условия: при переходе от каждой позиции к следующей (на каждом ходе) добавляется один отрезок соответствующего цвета: после первого хода — синий, после второго — зелёный, после третьего — синий и т. д. В заключительной позиции имеется треугольник из зелёных отрезков, причём ни на шестой, ни на седьмой, ни на восьмой позициях одноцветного треугольника (зелёного или синего) нет.

Задача 4. Конечно, эта задача имеет несколько решений. Решение следует считать верным при соблюдении следующих условий: на поле построена ломаная из 9 звеньев (она проходит через 10 точек), поэтому на поле остались две точки, через которые ползунок не проходит. При этом ни одну из оставшихся точек нельзя соединить ни с одним концом ползунка. Ломаная должна включать в себя 5 синих отрезков и 4 зелёных.

Задача 5. В этой задаче дети должны полностью проанализировать данную игру «камешки» — раскрасить клетки числовой линейки, найти закономерность в расположении проигрышных позиций и сформулировать выигрышную стратегию в виде общего правила. В игре «камешки» с ходами 1 и 2 проигрышными являются все позиции, число камешков в которых кратно трём. Поэтому в обоих вариантах выигрышную стратегию имеет Первый.

Задача 6. Необязательная. Задача на проверку умения строить ветку дерева игры и исследовать позиции на ней. Корневые вершины деревьев в двух вариантах симметричны, поэтому при кажущейся разнице деревья F и R математически одинаковы. Построение собственно ветки из дерева игры требует только внимательности и аккуратности при переборе возможных ходов и соответствующих позиций. Анализ позиций также не представляет особой сложности. Все листья — проигрышные позиции, значит, на четвёртом уровне все позиции проигрышные, а на третьем — проигрышные все, кроме двух. Оставшиеся две позиции выигрышные, поскольку из каждой из них существует ход в проигрышную позицию (в данном случае этот ход вообще единственно возможный). Каждая позиция второго уровня выигрышная, поскольку из неё существует ход в проигрышную позицию (третьего уровня). Это означает, что корневая позиция проигрышная и выигрышная стратегия имеется у Второго.

Урок «Выравнивание, решение необязательных и трудных задач»

Как и в 1—3 классах, в 4 классе после каждой контрольной работы планируется урок выравнивания. На таких уроках сильные и средние дети могут продвинуться в изучении материала ещё глубже, попробовать свои силы в решении сложных или просто необычных задач. Слабые дети и дети, которые плохо справились с контрольной работой, занимаются закреплением уже пройденного материала, решают задачи стандартного уровня, с тем чтобы ликвидировать пробелы в изучении предыдущей темы. Лучше для каждого учащегося сформировать на этом уроке свой набор задач, который будет ему по силам. При бескомпьютерном варианте изучения курса задачи берутся из числа задач 84—91, а при компьютерном варианте — из числа задач 76—91.

Решение задач 84 — 91 из учебника

Задача 84. Необязательная. Если позволяет время, полезно сначала дать возможность ребятам, работающим с задачей, просто поиграть в эту игру, чтобы освоиться с правилами. После этого учащиеся раскрашивают начало числовой линейки. В данной игре начальная позиция — число 0, заключительная — число 100. Поэтому начинать раскрашивать линейку нужно с заключительной позиции 100 и раскрашивать позиции до тех пор, пока не прояснится общая закономерность чередования проигрышных и выигрышных позиций в данной игре.

Итак, 100 — проигрышная позиция для игрока, делающего ход (на предыдущем ходу противник назвал число 100 и уже выиграл). Позиция 99 выигрышная, так как из неё за один ход можно получить проигрышную позицию 100, для этого нужно прибавить 1. Аналогично выигрышными являются позиции 91 — 98. Теперь рассмотрим позицию 90. В результате любого хода из позиции 90 получается выигрышная позиция (91, 92, …, 99), значит, позиция 90 — проигрышная. Так ребята движутся по числовой линейке, пока им не становится ясно, что проигрышные позиции — все числа, делящиеся на 10, а все остальные — выигрышные. Таким образом, позиция 10 проигрышная, позиции 9, 8, 7, …, 1 выигрышные, а 0 — проигрышная. Значит, выигрышная стратегия есть у Второго. Она заключается в том, чтобы на каждом своём ходу прибавлять такое число, чтобы в результате получалось число, делящееся на 10.

Задача 85. Немного усложнённый вариант задачи 73. Стоит обязательно предложить её ребятам, у которых возникали трудности с решением задачи 73.

Задача 86. Необязательная. Первое задание (достроить дерево U) аналогично задаче 68, только дерево здесь больше, поэтому от детей потребуется внимание и аккуратность. Второе задание (анализ позиций дерева) оказывается довольно сложным — именно из-за него задание помечено как необязательное.

Первая сложность здесь в том, что если игра не закончилась ничьей, то выигрывает не тот игрок, который делал ход (как в играх, которые рассматривались ранее), а его соперник. Поэтому для игрока, очередь которого делать ход, такая заключительная позиция является не проигрышной, а, наоборот, выигрышной. На это обязательно нужно обратить внимание детей!

Ещё одна тонкость второго задания — не делать лишнего, т. е. не помечать позиции, которые не подходят ни под определение выигрышной, ни под определение проигрышной позиции. Все заключительные позиции, которые закончились выигрышем одного из игроков, помечаем как выигрышные. Таких позиций ровно четыре. Позиции третьего уровня, которые ведут в выигрышные позиции, помечаем как проигрышные: таких позиций оказывается две. Все остальные позиции третьего и четвёртого уровней нельзя пометить ни как выигрышные, ни как проигрышные. На самом деле все эти позиции ничейные, дети не должны их помечать никак. Дальше анализируем позиции второго уровня. Из двух из них можно сделать ход в проигрышные позиции, значит, помечаем эти две позиции как выигрышные. Третья позиция не является ни выигрышной, ни проигрышной (она ничейная), поскольку из неё можно сделать ход в выигрышную или ничейную позицию. Соответственно корневая позиция также является ничейной. Это означает, что у игрока, чья очередь делать ход, существует ничейная стратегия — стратегия, позволяющая ему свести игру к ничьей, как бы ни играл его соперник. При этом игрок даже может выиграть (без гарантии, только если противник где-то ошибся), но точно не проиграет. Поэтому такую стратегию точнее было бы назвать непроигрышной. В данном случае ничейная стратегия Второго заключается в том, чтобы сделать первый ход в ничейную позицию. После этого, как бы ни шла игра, он либо выигрывает, либо сводит игру к ничьей.

Последнее задание (нарисовать цепочку партии) не должно вызвать проблем. Для его выполнения достаточно посчитать длину цепочки F, сопоставить это число с числом ходов в партии и найти в дереве позицию-лист с таким же числом ходов в партии, в которой выиграл Второй. В данном случае подойдёт любой лист третьего уровня. Теперь нужно построить цепочку партии, ведущую в этот лист. Последние три позиции этой цепочки нужно срисовать с дерева, а остальные достроить самостоятельно.

Задача 87. Необязательная. Данная задача — сказочный аналог игры «камешки». В переводе на игровой язык она будет выглядеть так: «В начальной позиции 9 камешков, за один ход игрок может брать 1, 2 или 3 камешка. Найдите выигрышную стратегию для Первого». В данной игре выигрышную стратегию одинаково удобно искать с опорой как на числовую линейку, так и на дерево. Мы предлагаем детям построить дерево, поскольку хотим, чтобы они описали выигрышную стратегию пошагово, а это удобнее делать по дереву. Чтобы детям было легче сформулировать ответ, мы предлагаем шаблон, в который ребята должны вставить только числа. Главная сложность этой задачи в том, что дерево будет достаточно большим. Ребятам лучше заранее спланировать его на черновике, чтобы потом правильно разместить в окне.

Задача 88. Необязательная. В курсе 2 класса ребятам приходилось решать довольно много подобных задач, где необходимо собрать из фигурок цепочку, используя условия с конструкциями «перед каждой» и «после каждой». Как всегда, один из способов решения такой задачи — собрать цепочку из кусочков, удовлетворяющих одному из условий (частичных решений). Из первого утверждения появляется кусок цепочки R — Y, а из второго — кусок цепочки W — … — … — Q. Эти два частичных решения легко скомбинировать и между собой, получается цепочка W — R — Y — Q. Из данного набора таких цепочек можно построить две. Оставшиеся буквы можно выстроить в цепочку, используя только второе утверждение.

Задача 89. Задача на повторение операции склеивания мешков, аналогичная задаче 81.

Задача 90. Необязательная. Задача на повторение процедуры заполнения одномерной таблицы для мешка. При заполнении таблицы нужно использовать пометки: обводить, помечать галочкой или вычёркивать каждый посчитанный след.

Задача 91. Необязательная. Решение — в быстром поиске в мешке слова с очередной второй буквой (А, Б, В, Г...). Задача решается однозначно, даже если не обращать внимания на словарный порядок. Но с учетом словарного порядка она решается гораздо быстрее.

Уроки «Дерево вычисления»

Многие структуры, изучаемые в нашем курсе (например, цепочки или мешки), являются не чисто информатическими, а универсальными: эти понятия используются в других школьных предметах, в науке, применяются в производстве, встречаются в обыденной жизни. Понятие дерева в этом плане не является исключением. «Древесная» структура помогает в случае, когда объект (процесс, класс предметов и т. д.) на каждом шаге распадается на несколько объектов (возможностей, подвидов и т. д.). Поэтому с помощью дерева можно организовать эффективный перебор вариантов возможных партий игры (дерево игры), строить различные классификации и фамильные деревья (деревья предков и потомков). На данном листе определений ребята знакомятся с ещё одной областью применения деревьев: с их помощью удобно изображать процесс вычисления значения арифметического выражения, так как в результате каждого арифметического действия с двумя числами получается одно число, которое на следующем шаге также служит компонентом некоторого действия. Так постепенно можно двигаться от одной ступени действий к другой, руководствуясь правилами порядка действий, и дойти до результата. Естественно представить подобный процесс в виде дерева, где листья — числа, входящие в пример, а общая предыдущая вершина для двух листьев — результат выполнения некоторого действия. Далее аналогичным образом с полученными результатами можно выполнять следующие действия, постепенно доходя до корневой вершины — значения выражения.

Примерно так же, в виде дерева, можно представить процесс приготовления кулинарных блюд, где постепенное соединение ингредиентов по парам или группам (и их последующее смешивание, варка, жарка и пр.) приводит на каждом шаге к появлению одного полуфабриката, а в итоге — к появлению некоторого блюда. Аналогично можно представить процесс сборки различных механизмов и т. п.

Дерево вычисления имеет и свои отличия от тех деревьев, с которыми ребятам приходилось работать раньше. Раньше ребятам чаще всего нужно было проследить по дереву только какой-то один путь (или несколько), теперь для вычисления значения выражения непременно надо «пройти» по всему дереву, не пропустив ни одной вершины. Ещё одна особенность дерева вычисления — необходимость дополнительной информации: для каждой пары чисел нужно указать, какую именно арифметическую операцию надо выполнить с этими числами, иначе дерево не будет содержать необходимую для вычисления значения выражения информацию. Эту дополнительную информацию по договорённости можно обозначить самыми разными способами: приписывать знак операции около соответствующей вершины, ставить в вершину фигурку особой формы, соответствующей операции, и т. п. Мы выбрали, на наш взгляд, самый простой и однозначно воспринимаемый способ — раскраску вершины-результата в соответствующий цвет. Это вопрос общей договорённости, поэтому от ребят не требуется запоминания обозначений цветов действий. В задачах мы всегда будем использовать одну и ту же раскладку цветов (сложению будет соответствовать зелёный, вычитанию — голубой, умножению — розовый, делению — жёлтый цвет). Мы используем бледные оттенки этих цветов, чтобы числа, написанные в цветных окнах, выделялись четко. В дальнейшем появятся и задачи на самостоятельное построение дерева вычислений. В такой задаче учащемуся придётся самостоятельно создать раскладку цветов, и такая раскладка совсем необязательно должна будет совпадать с той, которая приведена на листе определений.

До сих пор мы не упорядочивали вершины одного уровня дерева — не говорили о первой, последней или левой/правой вершинах третьего уровня и т. п. Но в дереве вычислений мы будем следить за тем, чтобы общий «горизонтальный» порядок листьев был таким же, как в заданном арифметическом выражении: если какое-то число идёт в выражении раньше другого, то и в дереве оно должно стоять левее (хотя, быть может, и на другом уровне). И это ещё одна отличительная особенность дерева вычислений. Важно соблюдать это правило при работе с арифметическими действиями, не обладающими переместительным свойством, — вычитанием и делением. При обсуждении листа определений обязательно обратите на это внимание ребят. Чтобы не перегружать лист определений сложными текстами, мы не стали писать об этой договорённости вычитать и делить слева направо, просто именно так мы всегда будем поступать.

Решение задач 92—104 из учебника

Задачи 92 и 93. Впервые в курсе встречаются задания, которые несут вычислительную нагрузку. Естественно, кому-то из ребят это понравится, кому-то нет. Для учителя такие задания могут стать хорошим поводом для организации интегрированных уроков с уроками математики — занятий на отработку вычислительных навыков. В дальнейшем подобные задания можно использовать на уроках математики для упражнений в устном счёте. Мы старались, чтобы вычисления, необходимые при решении подобных задач, были нетрудными: основная нагрузка задания состоит не в том, чтобы вычислить значение выражения, а в том, чтобы научиться правильно работать с деревом вычисления.

В данных задачах от ребят требуется только заполнить цветные окна дерева — вычислить и записать в соответствующие окна значения арифметических действий. Конечно, поначалу это будет не так просто, постарайтесь дать детям возможность разобраться самостоятельно. Потом можно обсудить решение всем вместе или индивидуально. Можно ли сразу найти корневую вершину или вершину второго уровня? Хорошо, если дети смогут сами ответить на этот и подобные вопросы.

Заметим, что в вычислении значения выражения по дереву ошибиться в порядке действий гораздо сложнее, чем в примере. Действительно, ребенок просто не сможет по дереву начать с того действия, которое нужно выполнить позже, так как в соответствующих вершинах пусто, а все те действия, которые можно выполнить сразу (в вершинах есть нужные числа), на самом деле допускают различный порядок выполнения. Так, например, в дереве Т можно сначала выполнить действия с числами 24 и 10, затем с числами 96 и 84, а можно поступить наоборот. В дереве S можно сначала выполнить действия с числами 46 и 14, а затем с числами 80 и 16 либо наоборот. Если кто-то из ребят спросит вас о последовательности действий, то обсуждать это лучше в индивидуальном порядке. С сильным ребёнком можно обсудить общее правило порядка вычисления по дереву. Оно несложное: сначала выполняются действия предпоследнего уровня (на последнем уровне всегда только листья, и там ничего вычислять не нужно), затем предыдущего и т. д., пока мы не дойдём до корневой вершины. Причём если на одном уровне находится несколько действий, то порядок их выполнения может быть любым (порядок не влияет на результат). Для слабого ребёнка при этом опора на правила порядка действий может оставаться единственной возможностью найти правильный ответ в примере, поэтому его не стоит запутывать. Если такой ребёнок вас спросит, в какой последовательности надо выполнять действия на одном уровне, то можно сказать, что, как обычно, слева направо.

При выполнении подобных заданий ребята часто забывают перенести ответ из корневой вершины в окно в примере, на это нужно обратить их внимание.

Ответ:

Задачи 94 и 95. Эти задачи сложнее задач 92 и 93, здесь надо заполнить не только цветные окна в дереве, но и белые: расставить числа, входящие в пример. Например, на предпоследнем уровне дерева К есть два зелёных окна, значит, две следующие за каждым из них вершины должны участвовать в сложении. Но в примере два сложения в скобках. Чтобы разобраться, какие числа вписывать в какие белые окна, полезно посмотреть, что с результатами сложений будет происходить дальше, — обратить внимание на цвет окон второго уровня. Вы, наверное, увидите, что некоторые дети впишут числа в листья быстро, почти не задумываясь. Это не случайно, так как мы стараемся выстраивать листья в дереве слева направо, так же как числа в записи примера.

После того как числа, встречающиеся в примере, будут правильно расставлены, задачи становятся аналогичными задачам 92 и 93. У дерева L есть одна особенность, которая ещё нигде не встречалась и которую, возможно, заметят дети: одна из вершин дерева (корневая) имеет не две, а три следующие вершины. Как известно, сложение обладает переместительным и сочетательным свойствами, в силу чего несколько чисел можно складывать в любом порядке и даже одновременно. Поэтому, если в примере встречается сложение нескольких чисел подряд (без скобок между слагаемыми), мы будем рисовать в дереве три (или более) вершины, следующие за одной.

Ответ: 37 и 50.

Задача 96. Задача на повторение операции склеивания мешков цепочек. В мешке-результате должно быть слово ПАРОВОЗ. Наиболее естественно предположить, что оно получается при склеивании цепочки ПАР (заданной в первом мешке), некоторой цепочки из второго мешка и цепочки ВОЗ из третьего мешка. Тогда во втором мешке должна лежать цепочка из буквы О. Так как ни одна из цепочек: САМОЛЁТ и ТЕПЛОХОД — не начинается на цепочку ПАР, естественно предположить, что в первом мешке лежат цепочки ПАР, САМ, ТЕПЛ, а в третьем — цепочки ХОД, ВОЗ, ЛЁТ. Теперь осталось выполнить склеивание мешков и убедиться, что в мешке-результате 9 цепочек (здесь так и получится). Сильного ученика можно спросить, что бы он сделал, если бы в условии требовалось получить в результате склеивания мешок из 12 слов.

Задача 97. Ребёнок, скорее всего, будет действовать методом перебора: берём одну команду, если получается, то идём дальше, если не получается, то возвращаемся и берём другую команду. Несмотря на внешнюю сложность, программа составлена так, что ученику в любом случае не придётся возвращаться больше чем на шаг назад. Дайте ребятам побольше времени, и они самостоятельно доберутся до ответа. Если ученик запутался, начните рассуждать вместе с ним. Итак, какую команду вписать в первую конструкцию повторения? Сразу понятно, что не подойдут команды «вверх» и «влево». Берем любую из оставшихся двух, например команду «вправо» (если взять команду «вниз», то решение тоже можно достроить до конца). Выполняем первую конструкцию повторения. Робик оказывается в клетке, из которой невозможно движение ни вправо, ни вверх. Поставим в окно, например, команду «влево» и проанализируем следующую конструкцию повторения — не получается. Аналогичные рассуждения можно продолжить, пусть ученик сделает это самостоятельно. Ниже приведены два варианта программы: первая — если вначале вписали команду «вправо», вторая — если вначале вписали команду «вниз», на самом деле их больше. Попробуйте найти ещё хотя бы две возможные программы, тогда вам будет проще ориентироваться в решениях ребят.

Задача 98. Задача на повторение процедуры поиска выигрышной стратегии с опорой на раскрашенную числовую линейку. В игре «камешки» с ходами 1, 2 и 3 проигрышными являются все позиции, кратные четырём, поэтому для такой игры с начальной позицией 43 камешка выигрышной стратегией обладает Второй.

Задачи 99 и 100. Здесь ребятам необходимо не просто заполнить пустые окна дерева вычисления, но и написать выражение, для которого данное дерево было бы деревом его вычисления. Здесь полное и ясное понимание материала листа определений становится для решения задачи обязательным. Незаполненные деревья N и P различаются только цветом окон. Значит, арифметические выражения будут составлены из одних и тех же чисел, но знаки между соответствующими числами будут различными.

В дереве N при сложении чисел 16, 4 и 23 задан определённый порядок (сначала складываются числа 16 и 4, затем к результату прибавляется число 23), в то время как в задаче 95 три слагаемых складывались одновременно. Действительно, в данной теме будет встречаться и та и другая ситуация. В этой задаче, чтобы указать представленный в дереве порядок действий, лучше всего поставить скобки: 23 + (16 + 4). Несколько хуже, если учащийся напишет: 16 + 4 + 23, а, например, вариант 23 + 4 + 16 в данном случае следует считать ошибочным, хотя на значение выражения порядок сложения не влияет.

Работа с деревом Р — хороший повод повторить особенные случаи умножения и деления, так как здесь встречается деление числа на себя и умножение на 1.

Ответ:

Задача 101. Необязательная. Это задача на установление связи между древесной структурой и структурой арифметического выражения. В дереве порядок действий задаётся порядком уровней, т. е. сначала мы выполняем действия с числами, находящимися на последнем уровне (если таких пар несколько, то установление порядка действий между ними несущественно), затем на втором с конца и т. д. В арифметическом выражении порядок действий устанавливается правилами очерёдности действий и скобками. В данной задаче ребятам необходимо расставить скобки так, чтобы порядок действий в примере стал таким же, как в дереве. Например, по дереву видно, что вычитание должно предшествовать умножению: в примере разность чисел 10 и 5 надо заключить в скобки. Впрочем, структура примера здесь не является особенно сложной, и мы надеемся, что ребятам не потребуется ваша помощь.

Ответ:

Задача 102. Необязательная. Задача, аналогичная задаче 87. Технически эта задача проще, поскольку дерево здесь получится небольшое. Поэтому данную задачу можно предлагать практически всем учащимся.

Задача 103. Многие дети догадаются, что начать решать задачу надо с самых простых требований к строящейся цепочке — первого и третьего. Когда будут построены фрагменты цепочки, отвечающие первому и последнему требованиям, достроить их до фрагментов, для которых выполнено второе условие, будет уже несложно, а сборка фрагментов в полную цепочку — дело совсем простое. Тем, кому трудно, можно посоветовать воспользоваться телесными объектами с листа вырезания, но от всех детей на данный момент этого требовать уже не стоит.

Задача 104. Необязательная. Стратегии в подобных задачах могут быть самыми разными. Одна из них — брать слова по очереди и пытаться среди оставшихся найти ещё два слова с таким же мешком букв.

Уроки «Робик. Цепочка выполнения программы»

Цепочка выполнения программы играет важную роль в самых разных конструкциях информатики — и теоретической, и практической. Она представляет собой статический (неподвижный, неизменный) объект, являющийся как бы кадром записи динамического процесса выполнения программы (как, например, раскадровка мультфильма). Переход к такому статическому объекту помогает нам разобраться в работе программы. Часто рассматривается не одна цепочка выполнения команд, а множество таких объектов, в случае если ход выполнения программы не определён полностью исходными данными или если мы одновременно рассматриваем выполнение программы при различных исходных данных.

Цепочка выполнения программы напоминает цепочку позиций игры. Можно обсудить с детьми, какую они видят разницу и какое сходство в этих цепочках. При обсуждении может возникнуть вопрос о том, кто и на каком основании делает, т. е. выбирает, очередной ход (в случае цепочки позиций игры выбор делают игроки на основании правил игры, а в цепочке выполнения команд выбор основан на последовательности команд программы).

Решение задач 105—116 из учебника

Задача 105. Задача на понимание определения.

Ответ:

Задача 106. Задача, обратная предыдущей; как и задача 105, это задача на понимание материала листа определений.

Ответ:

вверх

влево

вправо

вверх

вправо

Задача 107. Это одновременно упражнение на закрепление нового листа определений и задание на выполнение программы для Робика с неизвестным начальным положением (подобные задачи уже были раньше). Главное здесь — определить, из какой клетки начал движение Робик. Для этого можно воспользоваться одним из подходов, знакомых детям ещё из курса 2 класса: либо последовательно проверить все клетки поля как возможные начальные положения, отбрасывая при этом неподходящие (например, вычёркивая их), либо выполнить программу на клетчатой основе и заштрихованную Робиком фигуру поместить в поле. Поскольку в данном случае поле — прямоугольник, то второй подход делает решение задачи совсем простым. Поэтому его можно посоветовать слабому ученику, если он запутался. Остальных детей лучше, как всегда, отпустить в самостоятельное плавание.

Особенностью данной задачи является прямоугольное поле, значит, возможность, например, горизонтального движения Робика не зависит от вертикального движения. Поэтому можно отдельно устанавливать начальное положение по командам «вверх» — «вниз» и «вправо» — «влево». Например, цепочка команд по вертикали «вниз, …, вверх, …, вверх,..., вниз» позволяет сделать вывод, что в начальный момент Робик находился на второй строке. А цепочка команд по горизонтали «..., влево,..., вправо, …, вправо, вправо, …» говорит о том, что Робик начал движение в клетке второго столбца. Теперь задача становится совсем простой — надо вырезать из листа вырезания и наклеить в цепочку столько полей, сколько команд в программе (одно поле для начальной позиции уже есть), и раскрасить клетки.

Ответ:

Задача 108. Эта задача с подвохом. Поскольку начальная позиция нечётная и все разрешённые ходы нечётные, то после любого хода Первого позиция будет чётной, после любого хода Второго — нечётной. Таким образом, в данной игре всегда будет выигрывать Первый. По сути дела, выигрышная стратегия Первому вообще не нужна, однако это не значит, что её нельзя найти формально. Дети, скорее всего, не заметят необычности данной задачи и начнут решать её по знакомому алгоритму:

1. Раскрасят числовую линейку:

2. Заметят, что все проигрышные позиции — чётные числа, а выигрышные — нечётные числа.

3. Запишут выигрышную стратегию формально — Первый должен на каждом своём ходу забирать столько камешков, чтобы Второму досталось чётное число.

Лишь некоторые учащиеся поймут, что в игре не может победить Второй. С такими ребятами по окончании решения мы советуем обсудить этот вопрос. Следует обратить внимание на то, что существуют игры, когда у игроков просто нет выбора (например, игра «камешки» с единственным разрешённым ходом 1), в таком случае выигрышная стратегия не нужна.

Задача 109. Эта задача по содержанию продолжает серию заданий про Робика, но её формулировка будет для ребят новой. Поэтому кто-то из учеников может даже не разобраться, что здесь имеется в виду. Обсудите с ребятами, что цепочка Я пока не является цепочкой выполнения программы и бусины цепочки Я пока нельзя назвать позициями Робика: в них раскрашены не все нужные клетки, нет жирной точки, указывающей, в какой клетке находится Робик. С другой стороны, некоторые клетки в бусинах цепочки всё же раскрашены, и нужно это учесть: «стереть» раскраску не можем ни мы, ни Робик. Робик может выполнить программу Ю, стартуя из разных клеток поля. Поэтому для нахождения единственного решения требуется дополнительная информация. Эта информация заложена в раскрашенных клетках бусин цепочки Я.

Несмотря на новизну формулировки, одна из идей, помогавших при решении подобных задач ранее, может здесь пригодиться. Достаточно запустить Робика на любом листе клетчатой бумаги, и мы увидим, что он «путешествует» только по квадратику из четырёх клеток. Цепочка Я легко позволяет найти эти четыре клетки. При этом Робик начинает выполнение программы из левого нижнего угла этого квадратика.

Теперь ребятам останется лишь аккуратно раскрасить каждую позицию в соответствии с командами программы.

Ответ:

Задача 110. Эта задача того же типа, что и задачи 99, 100. С точки зрения арифметики здесь ситуация даже несколько проще, так как в задачах 99 и 100 встречаются двойные вложенные скобки. Но структура представленных в этой задаче деревьев сложнее — больше уровней, больше листьев на разных уровнях.

Ответ:

Задача 111. Ребятам уже встречалась подобная задача (см. комментарии к задаче 18). Здесь, так же как и в задаче 18, нужно экономить вершины, т. е. не размещать на одном уровне две одинаковые вершины, имеющие общую предыдущую (или две одинаковые корневые вершины). Исключение из этого правила составляет лишь случай, когда одна из одинаковых вершин является листом, а другая — нет. Например, в мешке V есть слова КИС и КИСА. У этих путей будут две общие вершины — К и И. Однако бусины С этих путей будут разными вершинами дерева.

Задача 112. Эта задача продолжает серию задач на сочетание кванторов — «все», «каждый», «есть». То, что в качестве простейших свойств объектов используются свойства, формулируемые с помощью наших понятий, относящихся к словам и буквам, не так уж важно. Важнее именно логическая структура предложения, представленная здесь словами «каждый», «найдётся». Эта структура будет одной и той же, независимо от того, работаем ли мы с числами, геометрическими фигурами, программами или словами.

При решении ребята могут столкнуться с двумя трудностями. Во-первых, в формулировке фигурируют два вида мешков: мешки мешков (внешние мешки) и мешки со словами (внутренние мешки), которые обозначены одним и тем же словом — «мешок». Кто-то из ребят может запутаться, где какой мешок имеется в виду. В этом случае можно прямо в условии сделать пометки «внешний» и «внутренний» или «большой» и «маленький».

Во-вторых, достаточно сложной может оказаться логическая структура высказывания, поскольку она содержит два квантора: «для каждого» («для любого») и «есть» («существует», «найдётся»). Если кому-то из ребят трудно сразу понять эту структуру, рассуждайте вместе с ними. Проще всего понять смысл условия, относящегося к отдельным словам мешков. Наверняка каждый ребёнок вам скажет, что мы будем искать такие слова, первая и последняя буквы которых одинаковы. А теперь ваша задача — обратить внимание ребёнка на главные слова высказывания: «есть» и «каждый». Например, можно спросить: «Сколько таких слов мы должны найти в каждом внутреннем мешке?» Ответ на этот вопрос побудит ребёнка обратиться к формулировке, выделить в ней слово «есть» — значит, найдётся хотя бы одно слово. Итак, мы поняли, что нужно искать внутренний мешок, содержащий хотя бы одно слово, первая и последняя буквы которого одинаковые. Чтобы довести рассуждения до конца, спросите: «Сколько в большом мешке должно быть мешков с нужным нам словом: один, два или три?» Читая условие, ребёнок обязательно обратит внимание на слово «каждый». Это означает, что все три внутренних мешка должны содержать необходимые слова. После серии таких вопросов каждый ребёнок будет знать, что делать, и без труда найдёт мешок, в данном случае мешок S.

Задача 113. Необязательная. В данной задаче ребятам необходимо помнить не только то, что такое путь дерева, но и то, какое число называется нечётным. Возможно, кому-то придётся напомнить, какое число называется нечётным. Если учесть число уровней дерева Y, подходящие нам пути могут иметь длину 1, 3 или 5. Путей длины 1 в дереве Y нет. При поиске путей длины 3 и 5 сильно помогает то, что дерево нарисовано по уровням. Поэтому можно просто пометить все листья, находящиеся на третьем и пятом уровнях (их 10), а затем выписать все пути, ведущие в эти листья. Это лишь один из способов решения задачи, ребята, скорее всего, будут использовать самые разные стратегии решения. Однако стоит обратить внимание на то, что в задаче необходимо выписать все пути, удовлетворяющие условию, поэтому какая-либо стратегия перебора нужна в любом случае.

Ответ:

Задача 114. Знакомое детям задание на заполнение двумерной таблицы для мешка. Особенностью данной задачи является её геометрическое содержание, а именно форма фигурок. В мешке, кроме привычных круга, треугольника и квадрата, лежат ещё правильные многоугольники: пяти-, шести-, семи- и восьмиугольники. Обсудите с учащимися, как отличить многоугольники один от другого. Если ребёнок запутался, попросите его посчитать и распределить по формам сначала все жёлтые фигуры, затем красные и т. д.

Заполнив таблицу, полезно убедиться в том, что общее число фигурок в таблице и в мешке одинаково. Совпадение этих результатов, как известно, является необходимым, но не достаточным условием правильного решения. Эта процедура может послужить первым этапом проверки, выявляющим вычислительные ошибки или ошибки, допущенные из-за невнимательности. Вторым этапом является сравнение непосредственно результатов подсчёта для каждой клетки в таблице. Проверку можно организовать как в парах, так и в группах. Ребятам, которые справились быстро, можно посоветовать самостоятельно проверить свои результаты, ориентируясь на столбцы (если считали по строкам) или наоборот.

Ответ:

Задача 115. Попробуем собрать искомую цепочку из частичных решений (эта идея работала в аналогичных задачах раньше). Из первого утверждения становится ясно, что в искомой цепочке будет два кусочка А — З. Букв У в задаче три, значит, из второго утверждения следует, что в цепочке должно быть три кусочка вида У — … — Д. Для этого нужно 9 букв, а у нас осталось только 7, значит, собрать эти кусочки независимо друг от друга не получится — частичные решения придётся «накладывать» друг на друга. Так рождается идея составить кусок У — У — Д — Д, где «наложены» два частичных решения.

Задача 116. Необязательная. Аналогичные задачи ребятам уже встречались (см. комментарии к задаче 104). Все дети будут действовать в этой задаче по-разному. Одна из идей заключается в том, чтобы разбить слова на группы по наличию или отсутствию некоторой буквы. Если некоторая буква встречается только в одном из слов, его можно сразу вычеркнуть. Так, можно сразу вычеркнуть слово КОФЕЙНИК, поскольку только в нём встречается буква Й, слово ЖЕРЕБЧИК (из-за буквы Б), слово ВКЛАДЧИК (из-за буквы Д). Остальные слова можно разделить на две группы по наличию или отсутствию буквы А. В одной из групп при этом остаются два слова с одинаковыми мешками букв — ИСТОПНИК и СИНОПТИК.

Уроки «Дерево выполнения программ»

Дерево помогает нам в тех случаях, когда необходимо осуществить перебор всех возможных ситуаций, особенно если на каждом новом шаге нам опять предстоит выбор. Удержать все возникающие ветвления в голове подчас оказывается затруднительно даже взрослому, а ребёнку и подавно. Дерево же даёт простую и понятную модель, отражающую сразу все варианты возможного развития событий от первого до последнего шага.

На данном листе определений речь пойдёт о дереве возможностей выполнения программы Робиком. Часто Робик может выполнить все четыре команды из той клетки, где он находится. Единственное, что его ограничивает, — это стены, внутренние и внешние. Ясно, что Робик может выполнить команду лишь в том случае, если на пути нет стены. Если учесть, что ветвления (варианты выбора) есть и на первом, и на втором, и на третьем (и т. д.) шагах, то возникает множество вариантов возможных путей Робика. Соответственно существует множество программ заданной длины, которые Робик может выполнить из данного начального положения. Учесть все варианты поможет дерево. В качестве вершин дерева мы берём не сами команды, а результаты их выполнения — получившиеся позиции.

Итак, цепочка позиций — это способ представить динамический процесс в виде статичной последовательности моментальных снимков. Дерево позиций — это способ фиксировать и различные варианты развития событий.

Понятие «дерево выполнения программ», как и другие понятия, относящиеся к командам и процессам их выполнения, мы даём только на примере Робика и его фиксированной системы команд. Ясно, что эти понятия можно использовать и в более общей ситуации для любых исполнителей и систем команд.

Решение задач 117—126 из учебника

Задача 117. Здесь пока не требуется построение дерева выполнения программ, а нужно лишь поработать с уже построенным деревом У, но даже это может оказаться непростой задачей, так как дерево У достаточно большое. В условии задачи мы специально обратили внимание ребят на стены, которые ограничивают передвижения Робика по полю. Если вы хотите до выполнения задания убедиться, что ребята понимают принцип построения дерева У, задайте им после знакомства с условием задачи несколько вопросов:

1. Почему дерево У имеет 5 уровней?

2. Почему корневая вершина имеет только две следующие?

3. Почему самая нижняя вершина третьего уровня имеет только одну следующую?

4. Почему не во всех листьях дерева число закрашенных клеток одинаково? И т. п.

При выполнении первой части задания ребятам придётся сопоставлять программы с путями дерева. Для того чтобы обвести в дереве некоторый путь, надо обвести каждую вершину этого пути начиная с корневой и до соответствующего листа. Надеемся, ребят не смутит, что одна из вершин второго уровня в результате выполнения первого задания будет обведена дважды, а корневая вершина — трижды (см. рис.).

Если ребята понимают, как построено дерево У, то написание программы Г их не затруднит, потому что из корневой позиции Робик может выполнить лишь одну из двух команд: «вверх» или «влево». Вторую команду конструкции повторения можно найти перебором по дереву. Например, в первое окно мы вписали команду «вверх». Далее Робик может выполнить команду «вправо» или «вниз». Пробуем выполнить каждую из получившихся программ Г и убеждаемся, что на данном поле выполнима лишь одна из них:

ПОВТОРИТЬ 2 РАЗА

вверх

вниз

КОНЕЦ

Если в первом окне записать команду «влево», то получаем также лишь одну возможную программу Г:

ПОВТОРИТЬ 2 РАЗА

влево

вправо

КОНЕЦ

Задача 118. Ребята, разобравшиеся в листе определений, такую задачу решат без труда. Если у кого-то из учеников возникнет заминка, побеседуйте с ним о возможностях выполнения команд Робиком. Понятно, что если Робик стоит на безграничном поле, то он в любой момент может выполнить любую из своих четырёх команд. Но нам дано поле, внутри которого находятся стены. Поэтому первый ваш наводящий вопрос может быть таким: какие команды может выполнить Робик из начальной позиции? Оказывается, что лишь одну — команду «вниз», так как в начальной позиции с трёх сторон от Робика находятся стены. Значит, после корневой вершины следует лишь одна позиция. Далее можно спросить: какие команды может выполнить Робик из клетки, куда он переместился? Их три: «вправо», «вниз» и «вверх», потому что стена теперь лишь слева. Рисуем возможные позиции. Для каждой из трёх позиций проводим аналогичные рассуждения. Получаем следующее дерево Ш:

Задача 119. Необязательная. Ребятам уже не раз приходилось решать задачи на двумерную таблицу для мешка, но эта задача — повышенного уровня сложности. Действительно, грузинские буквы для ребят не более чем закорючки, их невозможно держать в голове в виде общих понятий (например, «раскрашиваем красным три буквы Ю»), поэтому при раскрашивании буквы из мешка постоянно приходится сличать с образцом из таблицы. Решать такую задачу без системы довольно сложно. Например, можно раскрашивать буквы по строкам (или по столбцам) таблицы. Полезно сразу помечать в таблице ту клетку, которую уже использовали. Берём первую клетку первого столбца таблицы, в ней стоит число 0, значит, в мешке нет таких синих букв. Помечаем эту клетку и переходим ко второй клетке первого столбца. В ней стоит число 2, значит, в мешке должно быть две такие красные буквы. Находим по образцу две любые такие буквы, раскрашиваем их красным, помечаем вторую клетку и переходим к следующей. Так можно продолжать работу до тех пор, пока все клетки в таблице не будут помечены.

Задача способствует тренировке наблюдательности и умения работать с малознакомой системой символов; кроме того, дети ещё раз увидят письменность наших соседей.

Задача 120. Аналогичные задачи на выполнение операции, обратной склеиванию мешков цепочек цифр, ребятам уже встречались (см. комментарии к задачам 73, 85). В данном случае в мешке-результате лежат все двузначные числа. Все такие числа имеют ровно два разряда. В разряде единиц может стоять любая цифра, а в разряде десятков — любая цифра, кроме 0. Это и определяет состав мешков А и Б.

Задача 121. Здесь ребятам снова предстоит анализировать дерево выполнения программы. Оба задания данной задачи удобнее всего выполнять начиная с листьев. Например, выполняя первое задание, сначала можно пометить все подходящие листья (где Робик заканчивает выполнение программы в левом нижнем углу), таких листьев оказывается 4. Затем следует обвести синим все пути, ведущие в эти листья (общую вершину для нескольких путей, например, корневую, достаточно обвести один раз), потом выбрать один путь и записать соответствующую ему программу Робика в первое окно. Возможные программы А:

Видим, что последняя программа подходит и под условие второго задания, поэтому путь, соответствующий ей, будет обведен дважды — синим и красным.

Задача 122. В данной задаче нужно установить соответствие между арифметическими выражениями и деревьями. Для того чтобы ребятам обязательно пришлось анализировать древесную структуру, все примеры составлены из одних и тех же чисел. Здесь не нужно анализировать всё дерево полностью, чтобы найти подходящий для него пример. Возьмём, например, дерево А. Последнее действие, выполняемое для нахождения корневой вершины, — умножение. Видим, что пример, в котором последним выполняется умножение, — один (последний), соединяем пример и дерево А его вычисления. Так продолжаем рассуждать до тех пор, пока все примеры не будут соединены каждый со своим деревом. После этого задача становится привычной для ребят.

Возможно, найдутся дети, которые при решении этой задачи будут действовать совершенно по-другому: сначала заполнят все цветные окна в дереве (в том числе и в корневых вершинах), затем найдут значение каждого из выражений, наконец, соединят деревья с выражениями, руководствуясь одинаковыми числами в окнах примеров и корневых вершинах деревьев.

Ответ:

А — 2 ×(30 — 20: 10 + 15) = 86

В — 2×(30 — 20: 10) + 15 = 71

С — 2×(30 — 20): 10 + 15 = 17

D — 2×30 — 20: 10 + 15 = 73

Задача 123. Здесь ребята повторяют понятия «перед каждой» и «после каждой». Пробы с бусинами с листа вырезания будут осложняться тем, что для некоторых бусин известен только цвет, а для некоторых известна только форма. Поэтому пробы можно осуществлять на листочке (или в окне карандашом), изображая пустую форму (квадрат, треугольник или круг) либо цвет первой буквой (К, Ж, С, З). Конечно, решений у этой задачи много, однако анализ утверждений позволяет выделить у всех подходящих цепочек следующие общие черты. Во-первых, в цепочке Ю должна быть хотя бы одна треугольная бусина, иначе второе утверждение не будет иметь смысла. Более того, в цепочке Ю должен содержаться хотя бы один отрезок «красная круглая — … — треугольная». Если использовать первое утверждение, то этот отрезок должен выглядеть так: «красная круглая — квадратная (не красная) — треугольная». Во-вторых, треугольных бусин в цепочке Ю не может быть больше двух, иначе в цепочке Ю будет и больше двух круглых, что противоречит последнему утверждению. Теперь остаётся проследить, чтобы в цепочке было четыре красные бусины и чтобы после каждой из них стояла квадратная.

Ясно, что самая короткая цепочка, удовлетворяющая условию, — цепочка длины 7, ведь в цепочке Ю, как говорилось выше, не меньше одной треугольной бусины, ровно две круглые и не меньше четырёх квадратных (так как после каждой красной бусины должна стоять квадратная). Например, условию удовлетворяет цепочка:

Однако цепочка Ю может быть и гораздо длиннее, поскольку число квадратных не красных бусин может быть любым. Например, нам подходит следующая цепочка длины 9:

Задача 124. Необязательная. Задача потребует от детей внимания, сосредоточенности и, конечно, знания правила словарного порядка слов. Ребята сразу заметят, что первая буква у всех слов — С, а вторая — О. Упорядочивать слова придётся по третьей букве: сначала искать все слова, у которых на третьем месте буква А, далее — буква Б, потом — буква В и т. д. Облегчает выполнение задания то, что в мешке есть лишь два слова, в которых третьи буквы одинаковы: СОН и СОНЯ. Возможно, кому-то из ребят придётся напомнить, что в подобных случаях раньше должно идти то слово, у которого четвёртой буквы вообще нет (СОН). При расстановке столь большого числа слов в словарном порядке возможны ошибки, которые трудно будет потом исправить, если учащиеся сразу напишут слова ручкой, поэтому лучше писать слова в цепочку сначала карандашом. Кроме того, слова, уже записанные в цепочку, лучше вычёркивать из мешка.

Ответ:

Задача 125. В этой задаче задействован довольно широкий круг понятий нашего курса. Особенно активно ребятам приходится работать с понятием «путь дерева», анализируя пути как цепочки, с одной стороны, и как части дерева — с другой. Так, определяя истинность пятого утверждения, ребята должны понимать, что первая фигурка каждого пути — корневая вершина дерева. Поскольку в дереве С корневая вершина одна и это фигурка жука, то утверждение истинно. Чтобы определить истинность восьмого утверждения, нужно аккуратно перебрать все пути дерева, найти в каждой из цепочек третью фигурку (собственно, это все вершины третьего уровня) и проверить, что все эти фигурки — жуки. Особого внимания заслуживают утверждения, не имеющие смысла для данного дерева. Третье утверждение не имеет смысла, так как корневая вершина — фигурка жука и она не имеет предыдущей, а последнее утверждение не имеет смысла, так как в дереве С есть пути длины 3 и в них отсутствует четвёртая фигурка.

Ответ:

Задача 126. Аналогичные задачи на склеивание цепочек, имеющие отношение к курсу русского языка, ребятам уже встречались (см. комментарии к задачам 20 и 80). Как и в задаче 80, здесь для решения задачи ребёнку необходимы некоторые знания из курса русского языка, поэтому данная задача хорошо подходит для интегрированного урока.

Проект «Наша сказка/Наш мультфильм» (только для компьютерного варианта изучения курса)