Показ и обсуждение работ

Если группы озвучивали свои мультфильмы, то показ работ не требует особой подготовки. Работу демонстрирует один докладчик, который ставит проект в режиме демонстрации и меняет сцены. Если у детей не было возможности озвучить свою работу, то лучше организовать «живую» озвучку. Это придётся сделать заранее — распределить роли и отрепетировать каждую сцену. При таком варианте работу будет представлять вся группа.

Уроки «Дерево всех вариантов»

Применение дерева для перебора вариантов, пожалуй, одно из самых распространённых его приложений. Здесь древесная структура диктуется логикой самой задачи. При этом, строя дерево перебора, мы не просто считаем, сколько должно получиться таких последовательностей (как требуется в классической комбинаторной задаче), а строим все объекты, решая задачу из современной комбинаторики. Если мы перебираем объекты, которые можно представить в виде последовательностей, то решение становится совсем прозрачным. На первом уровне дерева мы помещаем все элементы, которые могут быть первыми в искомых последовательностях. На втором уровне для каждого из элементов первого уровня мы рисуем следующие вершины — элементы, которые могут стоять вторыми в последовательности, при условии что первым выбран данный элемент. Затем рисуем следующие за элементами второго уровня — элементы, которые могут стоять третьими, при условии что первым и вторым выбраны данные элементы. Так мы двигаемся, пока число уровней не станет равно длине искомой последовательности. В результате получаем дерево перебора — дерево, все пути которого представляют собой искомые последовательности. Выписав их, получаем множество вариантов.

Большинство задач, которые мы предлагаем детям на данном уроке, имеют много общего. В частности, одной из классических комбинаторных задач является задача на построение из элементов данного мешка (или множества) всех последовательностей заданной длины. При этом дерево перебора отражает последовательность наших выборов элементов из данного мешка. В классической комбинаторике выборы могут быть двух типов — с возвращениями (повторениями) и без возвращений (повторений). В первом случае мы, выбрав элемент из некоторого множества, затем возвращаем его обратно. Поэтому на следующем этапе этот же элемент может быть выбран снова. Во втором случае мы, выбрав элемент из множества или мешка, изымаем его из дальнейших выборов.

Решение задач 127—140 из учебника

Задача 127. Если у кого-то из ребят возникнут проблемы с построением дерева, попросите его ещё раз разобраться с листом определений (поскольку эта задача в точности такая же, как на листе определений). Если возникнут проблемы с построением мешка цепочек, необходимо вспомнить алгоритм выписывания всех путей дерева. Как и в задаче на листе определений, здесь будет 6 вариантов.

Задача 128. Несмотря на то что условие задачи в точности такое же, как у предыдущей, решения их будут несколько различаться. Действительно, необходимо построить все разные цепочки, но если начать строить дерево так, как на листе определений, — поставив на первом уровне три бусины из мешка, — в дереве могут появиться одинаковые цепочки. Значит, на первом уровне будет здесь уже не три, а две (разные) бусины. Следующие за каждой из них помещаются по тому же принципу — они должны быть разными, чтобы все пути дерева были разными. Поэтому у синей треугольной бусины будут две следующие (разные!) бусины, а у жёлтой круглой — только одна. В результате получаем дерево, у которого всего три пути. Если кто-то из ваших ребят не заметил отличия от предыдущей задачи и построил дерево в точности так же, обратите его внимание на то, что в его дереве есть одинаковые пути, и попросите вычеркнуть некоторые пути, так чтобы условие задачи выполнялось. После этого в дереве окажутся те же три пути. Теперь можно построить дерево в окончательном варианте.

Задача 129. В задаче 128 в мешке были две одинаковые бусины, но никакую из них нельзя было взять в цепочку больше одного раза, здесь же ситуация иная — имеется столько шариков каждого цвета, что их хватит на все сделанные выстрелы. Таким образом, если в первый раз мальчик попал в зелёный шарик, он может попасть в зелёный шарик и во второй раз. На первом уровне дерева будет столько же вершин, сколько может быть цветов шариков, т. е. три, у каждой из них будет по три следующие вершины. Таким образом, в данной задаче имеется 9 вариантов решения.

Задача 130. В этой задаче, возможно, ошибутся многие — здесь впервые происходит выбор с возвращениями. Что значит выражение «используя только бусины, которые есть в мешке А»? В мешке А есть жёлтая круглая, синяя круглая и зелёная круглая бусины. Значит, при построении цепочек нужно использовать только такие бусины: жёлтые круглые, синие круглые и зелёные круглые. Другие бусины брать нельзя, но эти бусины можно использовать сколько угодно раз. Так, если мы построим цепочку из трёх жёлтых круглых бусин, она будет соответствовать условию, потому что каждая её бусина есть в мешке А. После того как ребята разберутся в ситуации, дерево строится легко. На первом уровне будет три вершины, у каждой из них — три следующие и у каждой из вершин второго уровня опять три следующие. Таким образом, в данной задаче будет 27 вариантов решения. Поскольку дерево получится довольно большим, посоветуйте детям рисовать некрупные бусины.

Задача 131. Отличие данной задачи от предыдущих состоит в том, что объекты, из которых строится цепочка, не все равнозначны между собой. Действительно, в задачах 127 — 130 все объекты одинакового вида — бусины, каждый из этих объектов мог находиться на любом месте в цепочке. Здесь ситуация иная: на каждом уровне дерева вершины выбираются не из всех объектов (блюд), а только из объектов определённого вида. Так, в каждом из обедов должен быть один суп, поэтому на одном из уровней все вершины — первые блюда, на другом — вторые блюда, на третьем — десерты. Поскольку блюда в обеде не обязаны быть упорядоченными, то блюда любого вида можно размещать на любом уровне, но дети чаще всего начинают построение такого дерева с первых блюд. В этом случае на первом уровне будет две вершины — борщ и уха. Пусть на втором уровне будут вторые блюда, тогда у каждой вершины первого уровня могут быть три следующие, но надо не забыть, что в обеде не должно быть двух рыбных блюд, поэтому за ухой нельзя ставить рыбные котлеты. Таким образом, у вершины «борщ» будут три следующие, а у вершины «уха» — две. Поскольку десерт в меню только один, у каждой вершины второго уровня ровно одна следующая. Таким образом, из данного набора блюд можно получить 5 вариантов обедов.

Задача 132. Как на первом уровне дерева, так и после каждой вершины каждого уровня, кроме последнего, должны быть ровно две вершины: единица и нуль. Поскольку нужно построить цепочки длины 4, в дереве будет 4 уровня. В результате на втором уровне окажется четыре вершины, на третьем — восемь вершин, на четвёртом — шестнадцать вершин. Такое дерево называется бинарным: на первом уровне дерева две вершины, каждая вершина имеет ровно две следующие, причём все эти пары одинаковые (например, ДА — НЕТ, 1 — 0, чёрный — белый и пр.).

Задача 133. Основная часть этого задания — построение мешка трёхзначных чисел, для каждого из которых истинно заданное утверждение. Для правильного выполнения этого задания необходимо, во-первых, понять, какие числа должны быть в мешке (т. е. уяснить смысл утверждения). Во-вторых, нужно найти определённый принцип перебора таких чисел, чтобы ни одно не пропустить. Уяснению смысла утверждения способствует выполнение первой части задания — работа с числами из мешка Z. В мешке Z оказывается три подходящих числа: 222, 111, 121. Очень полезно в этой задаче переформулировать утверждение без отрицания (без слова «нет»). На самом деле данное утверждение означает, что числа должны состоять только из цифр 1 и 2, при этом цифры могут повторяться. На первом уровне в дереве перебора вариантов будут две вершины — цифры 1 и 2 (возможные первые цифры). За каждой из них будут следовать также две вершины — 1 и 2 (возможные вторые цифры). Наконец, за каждой вершиной второго уровня также будут следовать две те же самые цифры. После построения дерева остаётся выписать все его пути в мешок.

Задача 134. Для начала нужно разобраться в сюжете. Во-первых, нужно понимать, что любой носок (в отличие от ботинка) можно надеть на любую ногу. Во-вторых, когда мы говорим о способе надевания пары носков, мы имеем в виду не только цвет каждого из носков в паре, но и то, какой из них надет на правую, а какой — на левую ногу. Исходя из этого для носка на правую ногу есть ровно 4 варианта (соответствующие четырём цветам) и для каждого из них есть 4 варианта носка для левой ноги.

Задача 135. Необязательная. Решать эту задачу можно с конца, нарисовав на заданном поле ломаную линию из семи звеньев, которую нельзя продолжить. При этом нужно учесть четвёртую бусину, в которой позиция уже нарисована: наша ломаная должна проходить по всей средней вертикали.

Не давайте детям никаких подсказок, понаблюдайте, что они делают. Вот один из вариантов цепочки Z:

Задача 136. Необязательная. Арифметическое выражение в этой задаче по структуре будет довольно сложным, поэтому можно посоветовать ребятам вначале работать карандашом. Кроме того, лучше не стараться записать весь пример сразу, а сначала записать примеры, соответствующие веткам с корневыми вершинами 40 и 20 (третьего уровня) и 34 (второго уровня), а затем составить искомый пример.

Ответ: (17 × 2) × ((4 + 20 + 64: 4): (22 — (37 — 35))).

Задача 137. Здесь впервые от ребят требуется построить дерево вычислений целиком и придумать, как будут обозначаться арифметические действия. При этом может возникнуть следующая техническая трудность: если ребята обычно пользуются фломастерами, то их цвета (особенно синий и зелёный) могут оказаться настолько яркими и насыщенными, что чисел в окнах будет не видно. Как мы говорили раньше, цветовой способ различения в дереве арифметических действий, предложенный на листе определений, — вопрос договорённости. Можно, например, не раскрашивать соответствующее окно, а просто обводить цветом по границе.

Вопрос о специальной упорядоченности дерева вычислений (правильном порядке расположения вершин на каждом уровне и порядке листьев в соответствии с порядком следования чисел в выражении) мы с детьми ещё подробно не обсуждали. По этой причине мы не можем ещё от них требовать обязательного следования данному порядку. Именно самостоятельное построение дерева может подтолкнуть многих учащихся к тому, чтобы задуматься над этим вопросом. Поэтому, когда большинство детей решат задачу (или хотя бы попытаются решить), проведите общее обсуждение того, в каком порядке правильно располагать вершины в дереве вычислений. Но сначала дерево нужно построить. Прежде чем начать рисовать дерево, надо внимательно изучить арифметическое выражение и пронумеровать порядок действий:

Теперь есть два варианта: можно начинать строить дерево снизу вверх, от корня к листьям, или, наоборот, от листьев к корню. В любом случае надо работать сначала на черновике.

1. От корня к листьям. При таком построении порядок действий нужно изучать с конца, начиная с самого последнего.

Уровень 1. В нашем случае последнее, 4-е, действие — сложение. Значит, корневая вершина должна быть помечена как результат сложения.

Уровень 2. Какие числа мы складываем в 4-м действии? Складываем два числа: одно — результат деления (2-е действие), другое — тоже результат деления (3-е действие). Поэтому на втором уровне должны находиться две вершины, помеченные как результаты деления. На рисунке мы пока для простоты поставим в окнах знаки деления и умножения, мы же работаем на черновике. При перерисовывании набело в тетрадь нужно будет эти вершины пометить так, как договорились, а в самих вершинах написать результаты действий. Вот что у нас получилось:

Уровень 3. Одна вершина второго уровня (вообще говоря, любая из двух, но правильнее — левая) у нас соответствует 2-му действию, где мы делим результат сложения (1-е действие) на 3. Поэтому следующими после этой вершины второго уровня будут «результат суммы» и 3. Вторая (правая) вершина второго уровня соответствует результату деления 72 и 8, вот почему следующие за ней вершины — 72 и 8. Данные в примере числа — всегда листья в дереве вычислений, поэтому можно сразу выпустить из них стрелки.

Уровень 4. Остались незадействованными только слагаемые 24 и 6, они расположены на четвёртом уровне и следуют после вершины-суммы третьего уровня. Построение дерева завершено.

2. От листьев к корню. Выпишем все числа данного в задаче арифметического выражения по порядку. Это будут листья дерева. Конечно, наверняка все листья не будут расположены на одном уровне. Но мы же работаем на черновике и поэтому имеем некоторую степень свободы (потом перерисуем и исправим).

Теперь будем выполнять действия арифметического выражения по порядку, начиная с первого, — достраивать соответствующие этим действиям вершины дерева. Выполняем первое действие — рисуем вершину-результат этого действия.

Выполняем 2-е действие. То, что получилось сейчас, конечно, является неправильно нарисованным деревом — вершины расположены не на своих уровнях. Но исправим это потом. Сейчас для нас главное — общая структура дерева.

Выполняем 3-е действие.

Выполняем последнее, 4-е, действие, рисуем корневую вершину.

Теперь надо аккуратно снова нарисовать это дерево (лучше — начиная снизу, с корневой вершины) так, чтобы все вершины были расположены на своих уровнях. При этом правильно, если «горизонтальный» порядок листьев сохранится.

Осталось перерисовать дерево в тетрадь. При этом нужно не забыть соблюсти обозначения арифметических действий и заполнить дерево — вычислить значение выражения. Вычисляем значение выражения в примере, а затем сравниваем результаты (в обоих случаях должно получиться 19).

Оба предложенных варианта построения дерева вычислений имеют свои преимущества и свои недостатки. Построение снизу вверх даёт возможность расставлять вершины сразу на правильные уровни, зато потребует от учащегося рассмотрения процесса вычисления «задом наперёд», от последнего действия к первому. При построении сверху вниз действия рассматриваются последовательно, зато дерево получается сначала нарисованным не совсем правильно, с перепутанными уровнями. Впрочем, второй способ — сверху вниз — обладает ещё одним явным преимуществом: с его помощью легко построить правильное дерево вычислений, в котором «горизонтальный» порядок листьев — такой же, как в заданном арифметическом выражении.

Как видите, эта задача важная и непростая. Неплохо, если дети хотя бы какое-то время потратят сначала на самостоятельное решение, чтобы потом участвовать в общем обсуждении уже сознательно. По вашему усмотрению общее обсуждение может быть как довольно подробным, так и небольшим заключительным подведением итогов.

Задача 138. Необязательная. Как и в других подобных задачах, здесь можно воспользоваться методом перебора, т. е. последовательно заставлять Робика выполнять программу из разных клеток поля. Заметим, что на поле есть «изолированные» клетки, окружённые со всех сторон стенами, они в качестве начальных положений Робика не подойдут. Далее можно отбросить клетки, стартовав из которых Робик не сможет выполнить очередную команду программы. Специфику перебора подсказывает сама программа. Сначала отбрасываем все клетки, из которых Робик не может сделать два первых шага — влево, влево, и вычёркиваем их крестом.

Затем замечаем, что Робик на протяжении всей программы 4 раза выполняет команду «вниз» и только потом один раз — команду «вверх», поэтому необходимо отбросить те строчки, из клеток которых невозможно выполнить 4 команды «вниз» (это 4 нижние строчки).

Осталось 12 возможных начальных позиций. Их придется честно проверить — запустить Робика выполнять программу начиная с каждой из этих клеток. В результате получаем единственно возможное решение:

Сложность данного подхода к решению заключается в том, что в этой задаче перебор достаточно большой, даже в случае, если вначале правильно отбросить «неподходящие» клетки.

Возможно, кто-то из ваших учеников выберет другой подход — сначала выполнить программу на клетчатой бумаге (поле без границ), а потом «вписать» получившуюся фигуру в заданное поле Робика. Решение в этом случае также не будет слишком простым. Видим, что на поле причудливо расставлены стены, а при выполнении программы получается достаточно непростая картинка. Чтобы найти ей место на заданном поле, детям потребуется хорошо развитое геометрическое воображение.

В любом случае лучше не обсуждать сразу задачу со всем классом, а посмотреть, что будет делать каждый ученик самостоятельно. Ваша помощь будет в каждом случае различна — в зависимости от выбранной учащимся стратегии и его продвижения в решении.

Задача 139. Необязательная. Больше всего данная задача напоминает задачу 128. Четыре данных в этой задаче утверждения в точности описывают мешок букв (четырёхбуквенного) слова. Таким образом, задача состоит в построении дерева всех разных слов длины 4 из букв данного мешка, причём в мешке букв есть две одинаковые буквы У. Необходимо обратить внимание учащихся на то, что все пути должны быть разными, и попросить ребят подумать, как при построении дерева можно обеспечить отсутствие одинаковых путей.

Есть прямой путь решения: построить сначала полное дерево всех слов длины 4 из букв А, З, У и У. Назовем это дерево R (оно приведено ниже). Затем, рассмотрев это полное дерево, нужно найти пары одинаковых путей (таких пар будет 12) и пометить (вычеркнуть) по одному пути из каждой такой пары. Останется ровно 12 путей, как и требуется в условии задачи. Теперь, пользуясь деревом R, нужно постараться аккуратно нарисовать искомое дерево, не рисуя зачёркнутых путей. Вычёркивать пути нужно аккуратно и внимательно — необходимо проследить, чтобы случайно не выкинуть нужные пути.

С другой стороны, рассматривая полное дерево, можно попытаться понять закономерность, как именно нужно строить дерево, чтобы в нём не оказалось одинаковых путей. Этот вопрос уже обсуждался в задаче 128. Напомним выводы, к которым мы при этом пришли: все вершины, следующие за одной вершиной, должны быть разными. Также все корневые вершины должны быть разными. Вот дерево, построенное с соблюдением этой закономерности, и мешок его путей (дерево Q и мешок J).

Несмотря на сложность этой задачи, не стоит помогать детям чрезмерно. Даже если кто-то из ребят поначалу проигнорирует условие различности путей и станет строить дерево так же, как на листе определений «Дерево всех вариантов», в конце концов он сам заметит что-то неладное. Во-первых, листьев у него будет не 12, во-вторых, выписывая цепочки, учащийся увидит, что не все они различны. Вот на этом этапе можно обсудить с таким учеником, почему появились лишние цепочки и что нужно из дерева убрать.

Задача 140. Для решения этой задачи может существенно помочь подсчёт числа закрашенных квадратиков в каждой из фигурок. Оказывается, во всех фигурках, кроме одной, по 7 закрашенных квадратиков, в одной — 6. Это сразу указывает нам ту фигурку, в которой мы должны раскрасить синим один квадратик. Теперь остаётся лишь сравнить эту фигурку-образец с каждой из оставшихся, по ходу отбрасывая (например, вычёркивая) те фигурки, которые заведомо не подходят. Подходит же нам такая фигурка, в которой закрашены все те клетки, что и в фигурке-образце. После того как такая фигурка найдётся, закончить решение оказывается совсем несложно. Таким образом, если в средней фигурке второй строки закрасить третью сверху клетку в последнем столбце, то она станет такой же, как левая фигурка последней строки.

Урок «Лингвистические задачи»

Лингвистические задачи принадлежат к особому жанру. Впервые они появились на Олимпиаде по языковедению и математике, проводившейся филологическим факультетом МГУ с 1965 г. Задачи этих олимпиад называются самодостаточными лингвистическими задачами. Это действительно именно задачи, а не просто упражнения, их нужно решать — ответ достигается в результате логических операций, а решивший задачу может (с известной степенью строгости) доказать правильность своего ответа. Самодостаточность такой задачи проявляется в том, что от решающего не требуется специальных знаний и подготовки: все необходимые ему данные содержатся в условии задачи. Кроме того, при решении ученик применяет свои интуитивные представления об устройстве родного языка.

Лингвистические задачи в нашем учебнике, конечно, являются лишь подготовительным материалом для работы над настоящими самодостаточными лингвистическими задачами. Тем не менее, несмотря на свою простоту, они обладают теми же свойствами: являются задачами и требуют интуиции и опыта в отношении родного (русского) языка.

Решение задач 141—153 из учебника

Задача 141. Опираясь на буквы, которые имеются только в латинице или кириллице, удаётся без труда отличить русские слова от английских. Что касается греческих слов, то их выявить ещё легче, так как греческие буквы совсем не похожи ни на кириллические, ни на латинские.

Задача 142. В мешке-результате четыре цепочки. Значит, цепочек в мешках по две или в одном мешке четыре цепочки, а в другом — одна. В каждом из мешков-аргументов уже имеется по одной непустой цепочке. Следовательно, если в одном из мешков-аргументов одна цепочка, все цепочки в мешке-результате должны иметь либо общее начало, либо общий конец. В данном случае это не так, поэтому в каждом из мешков-аргументов должно лежать ровно по две цепочки. Остаётся для каждого мешка-аргумента найти одну цепочку, которой в нём не хватает. Так, во втором мешке не хватает пустой цепочки, поскольку в мешке-результате есть такая же цепочка, как данная в первом мешке.

Задача 143. В этой задаче почти нет слов, знакомых детям (например, русских или английских). Поэтому её придется решать, принимая во внимание исключительно различие букв.

Задача 144. Эта задача сложнее предыдущей. Здесь даны слова из языков, письменности которых построены на основе кириллицы. Чтобы отнести такие слова к некоторому языку, недостаточно формальных соображений о различии графики написания букв, придется подключать знания о русском языке. Во-первых, если слово содержит незнакомые символы, значит, оно нерусское. В задаче есть два таких слова. Рассматривая другие слова, можно заметить, что в некоторых из них не соблюдены правила русского языка (ЖИ — ШИ, ЧА — ЩА и пр., а также буква Ы в начале слова). Это позволит выделить ещё пять слов. Заметим, что относительно остальных слов нельзя с уверенностью сказать, что они не чувашские.

Задача 145. Усложнённая задача на построение дерева перебора вариантов, поскольку при построении дерева придётся принимать во внимание сразу три условия (чётность, количество и состав цифр, отсутствие одинаковых цифр). На первом уровне окажутся 4 данные цифры (поскольку первая цифра искомых чисел может быть любой). У каждой из этих цифр будет по 3 следующие вершины, т. е. на втором уровне окажется 24 вершины. Теперь за каждой из них надо бы поставить по 2 вершины, но так как числа должны получиться чётными, годятся только цифры 2 и 6. Таким образом, после некоторых вершин второго уровня будет по 2 цифры, после некоторых — по одной. Будут и такие вершины второго уровня, после которых ни одной цифры не будет: вершины второго уровня будут листьями. В результате выписывания всех получившихся в дереве путей длины 3 (нам же нужны только трёхзначные числа) получаем 12 искомых чисел: 362, 392, 632, 692, 932, 962, 236, 296, 326, 396, 926, 936.

Задача 146. Достаточно трудная лингвистическая задача. Часть слов можно отнести к одному из языков формально, пользуясь только условием задачи. Дальше придётся привлечь логику и лингвистические соображения. Поэтому можно предлагать эту задачу всем учащимся, но учитывать, что слабому ученику достаточно рассмотреть простые случаи, а все оставшиеся слова просто определить в третью группу (помеченную оранжевой галочкой). В дальнейшем к решению данной задачи можно вернуться ещё раз и некоторые из слов, помеченных оранжевым, определить как русские или украинские слова и пометить их галочкой соответствующего цвета.

Итак, часть слов можно отнести к какому-то языку, ориентируясь только на наличие в слове букв «и», «ы» и «i»: если в слове одновременно встречаются буквы «и» и «ы», то это слово русское; если буквы «и» и «i» — слово украинское; если буквы «ы» и «i» — оно белорусское. Так можно узнать, к какому языку относятся следующие слова:

русские слова: уличный, высокий, извивы, всемирный;

белорусские слова: звiвы, аблiчыць;

украинские слова: улицi.

Для определения следующей части слов нужно учесть не только наличие или отсутствие в слове букв «и», «ы» и «i», но и то, что в них есть дополнительные знаки. Ясно, что слова с дополнительными знаками не могут быть русскими, поэтому в таких словах достаточно найти буквы «и», «ы». Таким образом нетрудно отыскать украинские слова «всевидящеє», «з'ïсти» и белорусское «пасеяўшы». Из этого следует, что буквы «є», «ï» украинские, а буква «ў» белорусская. Используя этот факт, определяем, что слова «дзiўвная», «здароўя» и «купiў» белорусские, а слово «спiває» украинское. Слово «змерыць» не может быть русским, поскольку в русском языке мягкий знак после буквы «ц» не ставится. В нём есть буква «ы», значит, оно белорусское.

Что касается всех остальных слов («вялiкi», «купил», «молоко», «праведный»), то выяснить их принадлежность однозначно не удаётся. Три слова из них точно являются русскими, но при этом слово «праведный» может быть и белорусским, слово «купил» — украинским, а слово «молоко» может принадлежать ко всем трём языкам. Слово «вялiкi» может быть и украинским, и белорусским.

Задача 147. Необязательная. Как и многие лингвистические задачи, данная задача многослойна и позволяет провести разнообразную работу в зависимости от уровня детей в классе. Первый уровень, обязательный для всех ребят, которые взялись решать эту задачу, — распределить все фразы, ориентируясь на буквы «и», «ы» и «i». Все фразы, где встречается буква «и», украинские, а фразы с буквой «ы» белорусские:

бел.: З легендаў i казак былых покаленняў

Ты выткана, дзiўвная родная мова.

Малы жук, а вялiкi гук.

Дарогi, цёмныя дарогi! Хто вас аблiчыць?

Хто вас змерыць? Хто вашы звiвы ўсе праверыць?

Не пасеяўшы, не пажнеш.

укр.: Прийшов, побачив, перемiг.

I широкую долину не забуду я.

Якби ви вчились так, як треба,

То й мудрiсть би була своя.

Реве та стогне Днiпр широкий.

По улицi вiтер вiє

Та снiг замiтає.

Думи моï, думи моï,

Лихо менi з вами!

Огнi горять, музика грає.

Опираясь на буквы «и» и «ы», нельзя сказать, к какому языку относятся остальные фразы. Теперь можно использовать информацию про дополнительные символы. Из предыдущей задачи ребята узнали, что в каждом из алфавитов (белорусском и украинском) есть свои дополнительные символы, в частности, что буквы «є» и «ï» украинские, а буква «ў» белорусская. Используя эту новую информацию, мы определяем:

бел.: Што хутарок, то гаварок, што сяльцо, то нараўцо.

Добрага здароўя!

укр.: Спиває, плаче Ярославна, Як та зозуленька кує.

Сонце грiє, вiтер вiє.

Таким образом, мы не смогли определить, на каком языке написана лишь одна фраза:

бел.: Можа на двое варожа.

Данная задача позволяет провести интересное знакомство с языком наших соседей. Опираясь на то, что большинство букв в русском, белорусском и украинском языках общие, можно попросить ребят прочитать приведённые фразы. Основываясь на схожести слов, можно попробовать перевести их на русский язык или подумать, что они могут означать. Интересно проследить также, какие аналоги некоторые из приведённых фраз (пословицы и поговорки) имеют в русском языке. Ниже приводим перевод всех фраз на русский язык.

Прийшов, побачив, перемiг. — Пришёл, увидел, победил.

З легендаў i казак былых покаленняў

Ты выткана, дзiўвная родная мова.

– Из легенд и сказок былых поколений ты выткана, дивная родная речь.

I широкую долину не забуду я. — И широкую долину не забуду я.

Малы жук, а вялiкi гук. — Мал жук, а шума много (букв.: большой шум).

Якби ви вчились так, як треба, То й мудрiсть би була своя. — Если бы вы учились так, как нужно, то и мудрость (у вас) была бы своя.

Дарогi, цёмныя дарогi! Хто вас аблiчыць?

Хто вас змерыць? Хто вашы звiвы ўсе праверыць?

– Дороги, темные дороги! Кто вас сосчитает? Кто вас измерит? Кто все ваши повороты проверит?

Не пасеяўшы, не пажнеш. — Не посеешь — не пожнёшь.

Реве та стогне Днiпр широкий. — Ревёт и стонет Днепр широкий.

По улицi вiтер вiє

Та снiг замiтає. — По улице ветер веет да снег заметает.

Думи моï, думи моï,

Лихо менi з вами! — Думы мои, думы, тяжело мне с вами!

Огнi горять, музика грає. — Огни горят, играет музыка.

Спиває, плаче Ярославна, Як та зозуленька кує.

— Поёт и плачет Ярославна, как та кукушечка кукует.

Што хутарок, то гаварок, што сяльцо, то нараўцо. — Что хуторок, то говорок, что сельцо, то (собственный) нрав (ср. русск.: «Что ни город, то норов»).

Добрага здароўя! — Доброго здоровья!

Сонце грiє, вiтер вiє. — Солнце греет, ветер веет.

Можа на двое варожа. — Бабушка надвое сказала (букв.: «Может» надвое ворожит»).

Задача 148. Необязательная. Прежде всего необходимо понять, что нам даёт фраза из условия о том, что буква «о» в белорусских словах пишется только под ударением (ведь ударение в данных названиях не указано). Оказывается, из этого следует, что в белорусском языке не бывает слов с несколькими буквами «о»! Итак, названия с двумя и более буквами «о» — не белорусские. Из них все, кроме одного — «Соловьёво», содержат букву «i», значит, названия «Верхньоднiпровськ», «Днiпропетровськ», «Нiкополь», «Свiтловодськ» украинские, а название «Соловьёво» — русское, так как содержит букву «ё», которой в украинских словах не бывает.

Названия «Быхаў» и «Магiлёў» точно не украинские, так как содержат, соответственно буквы «ы» и «ё», которых нет в украинском алфавите. Кроме того, эти названия не русские, так как содержат нерусскую букву «ў». Значит, это белорусские названия. Может быть, кто-то из детей, вдумчиво поработавших с задачами 146 и 147, сразу вспомнит, что буква «ў» белорусская, и отнесёт эти слова к белорусскому языку.

Также белорусским является название «Палыковiчы», поскольку оно содержит буквы «ы» и «i» одновременно.

Названия «Рэчыца» и «Стрэшын» — белорусские, поскольку содержат букву «ы», которой нет в украинском алфавите, и не могут быть русскими, так как в них нарушен общеизвестный запрет на написание буквы «ы» после «ш» и «ч».

«Верхнеднепровский» — явно не белорусское слово (из-за буквы «и»), по составу букв оно может показаться и украинским, но от него разительно отличается по написанию украинское «Верхньоднiпровськ». Значит, это слово русское.

Вот как расположены эти населённые пункты по течению Днепра:

Россия: Верхнеднепровский, Соловьёво;

Белоруссия: Палыковiчы, Магiлёў, Быхаў, Стрэшын, Рэчыца;

Украина: Свiтловодськ, Верхньоднiпровськ, Днiпропетровськ, Нiкополь.

Ответ: украинские названия: Верхньоднiпровськ, Днiпропетровськ, Нiкополь, Свiтловодськ;

белорусские названия: Быхаў, Магiлёў, Палыковiчы, Рэчыца, Стрэшын;

русские названия: Соловьёво, Верхнеднепровский.

Задача 149. Необязательная. Большинство ребят наверняка уже понимают, что два одинаковых пути появляются в дереве в том случае, если у них на каждом уровне или одинаковые вершины, или общая вершина. Поэтому все листья, следующие за каждой одной вершиной второго уровня дерева Ф, должны быть различны. Значит, с учётом информации, содержащейся в таблице, за верхней и нижней бусинами второго уровня должны следовать красный и жёлтый листья, а за средней — красный, жёлтый и синий. Теперь оставшиеся 6 бусин нужно раскрасить в соответствии с таблицей в красный и жёлтый цвета, так чтобы начала всех путей (цепочки из первых двух бусин) были различны. Таким образом, нам подходят следующие три начала: красная — красная, красная — жёлтая и жёлтая — красная.

Скорее всего, ребята будут решать задачу методом проб и ошибок. Пробы можно осуществлять, помечая на бусинах карандашом цвета первыми буквами (К, Ж, С). Это не будет наглядно, зато в случае ошибки решение легко будет поправить. Если вы хотите сдвинуть кого-то с мёртвой точки, попросите его для начала раскрасить бусины средней ветки, причём начиная с листьев. Далее можно обсудить полученный результат и дать возможность учащемуся закончить решение самостоятельно.

Задача 150. Необязательная. Как уже говорилось, лингвистические задачи у нас в курсе подразумевают некоторую долю интуитивной догадки. Например, в данной задаче учащийся должен догадаться, что слова «Disemba», «Aprili» и «Octoba» обозначают по-русски соответственно «декабрь», «апрель» и «октябрь». Догадаться несложно, но формально это ниоткуда не следует.

Теперь нужно разобраться с остальными словами. Легко заметить, что первое слово во всех датах одинаковое, значит, пока его можно исключить из анализа.

Проанализировав две даты в октябре, получаем, что второе слово во фразах на языке суахили относится к числу и «tano» соответствует числу 5, а последнее слово во фразе соответствует дню недели и «jumatatu» и «jumatanu» — «понедельник» и «среда» (но пока какое слово соответствует понедельнику, а какое — среде, неизвестно).

Найдем две фразы с одинаковым словом в конце (днём недели) и получим, что «jumatatu» — это «понедельник», а значит, «jumatanu» — это «среда». Легко понять (из апрельских дат), что «nne» — это 4, «pili» — это 2, а «jumamosi» — это суббота.

Теперь поставить соответствие между фразами на русском и суахили несложно. Наконец, из кусочков переведённых дат составляем в окне предложенные сочетания.

Ответ:

tarehe tatu Disemba jumanne — 3 декабря, вторник

tarehe pili Aprili jumamosi — 2 апреля, суббота

tarehe nne Aprili jumatatu — 4 апреля, понедельник

tarehe tano Octoba jumatatu — 5 октября, понедельник

tarehe tano Octoba jumatano — 5 октября, среда

4 апреля, среда — tarehe nne Aprili jumatano

5 декабря, суббота — tarehe tano Disemba jumamosi

Для очень сообразительных детей можно дать и продолжение этой задачи: «Как будет на языке суахили слово «суббота» и число 1?»

Оказывается, если внимательно приглядеться, в названии дней недели на суахили есть две части: одна общая («juma»), а другая совпадает с названием числа. Проводя соответствие между этими числами и днями недели, получаем, что:

3 соответствует понедельнику;

4 соответствует вторнику;

5 соответствует среде.

Отсюда приходим к выводу, что субботе, скорее всего, соответствует число 1 и оно на языке суахили звучит как «mosi», а число 2 соответствует воскресенью и на языке суахили звучит как «jumapili».

Про четверг, пятницу и числа 6 и 7 в задаче нет никакой информации, и поэтому о них мы сказать ничего не можем.

Как обычно, мы приводим краткую справку о языке, который использован в задаче.

Язык суахили распространён в странах Восточной и Центральной Африки (главным образом в Танзании, Кении, Уганде, где суахили наряду с английским является официальным языком, частично в Демократической Республике Конго (Заир) и Мозамбике). Первоначальная территория распространения — узкая прибрежная полоса с прилегающими островами: Занзибар, Пемба, Мафия, Коморские. Исконные носители — исламизированное афро-арабское население этого региона. Суахили возник приблизительно в IX—XI веках в результате упрощения местных языков банту, испытавших сильное контактное влияние арабского языка. В XIX веке суахили проникает вглубь континента. Самые ранние из известных памятников классической литературы суахили относятся к XVIII веку, тогда использовалась арабская графика, так называемая старосуахилийская письменность. Современный литературный суахили пользуется письменностью на базе латинской графики.

Задача 151. Необязательная. В этой задаче для правильного выполнения задания необходимо использовать сведения из курса русского языка. Подобные задачи можно решать на интегрированном уроке с курсом русского языка или даже просто на уроках русского языка.

Задача 152. Необязательная. Проще всего сразу разделить все записи на две группы — относящиеся к языкам с кириллическим алфавитом и к языкам с латинским алфавитом. Видим, что первые четыре записи сделаны на языках, где используется кириллица (кумыкском, белорусском, аварском и болгарском), остальные — на языках, где используется латиница (турецком, гавайском и чешском).

Теперь примем во внимание то, что из тех языков, в которых используется кириллица, только в аварском и белорусском имеются дополнительные символы (ясно, что в языках, где используется латинский алфавит, в любом случае имеются символы, отличные от символов русского языка). Значит, первая и четвёртая записи сделаны на белорусском и аварском языках. Чтобы выяснить точнее, какая из этих фраз к какому языку относится, вспомним знания о белорусском языке, полученные в ходе решения других лингвистических задач. Действительно, в белорусском алфавите есть буквы «ы» и «i», но нет буквы «и». Значит, первая запись сделана на белорусском языке, а четвёртая — на аварском.

Чтобы выяснить, какая из оставшихся записей сделана на болгарском языке, нужно посмотреть, какая из них более похожа на запись, сделанную на белорусском языке, поскольку в условии сказано, что белорусский и болгарский языки родственны между собой. Видим, что это третья запись, значит, вторая запись сделана на кумыкском языке.

Теперь переходим к языкам, где используется латиница. Видим, что пятая запись больше всех остальных напоминает вторую (чтобы в этом убедиться, достаточно прочитать их, используя звучание букв соответствующих алфавитов), значит, она сделана на турецком языке, который родствен кумыкскому.

Аналогично выясняем, что седьмая запись сделана на чешском языке, который родствен белорусскому и болгарскому. Значит, оставшаяся запись сделана на гавайском языке.

Ответ:

Белорусский язык.

Кумыкский язык.

Болгарский язык.

Аварский язык.

Турецкий язык.

Гавайский язык.

Чешский язык.

Задача 153. Необязательная. Это усложнённая задача на склеивание цепочек, поскольку детям необходимо самим придумать подходящие слова и не у всех это получится сразу. На самом деле решений у этой задачи очень много. Вот несколько примеров слов — результатов склеивания: ПОЛДЕНЬ, ТОНКИЙ, СТЕКЛОВАР. Особенно легко построить такой пример, если помнить, что все союзы и предлоги тоже слова русского языка.

Уроки «Шифрование»

Как и лингвистические задачи, задачи на шифрование частично относятся к курсу математики, частично к курсу лингвистики. Здесь активно используются цепочки, так как шифрование — это преобразование одной цепочки символов в другую. Кроме того, в этой теме активно формируется алгоритмическое мышление, поскольку при шифровании и расшифровке необходимо действовать по определённому алгоритму.

В начале листа определений приводится краткий описательный текст об истории возникновения шифров и сферах их применения. Далее лист определений содержит новую терминологию (правила игры «шифрование»), которая понадобится для однозначного и ясного формулирования задач.

Решение задач 154—165 из учебника

Задача 154. В отличие от лингвистических задач, если шифр известен заранее, задачи на шифрование и расшифровку решаются совершенно формально (в частности, с такими задачами успешно справляются компьютеры). Чтобы усложнить и разнообразить задания, мы предлагаем ребятам сначала самим получить шифр в ходе решения серии задач 154 — 157. В первой задаче этой серии ребята знакомятся с таблицей шифра и учатся её заполнять. Шифр устроен несложно — каждая русская буква заменяется одной русской буквой. При этом одинаковые буквы шифруются одинаковыми, а разные — разными. При заполнении таблицы можно действовать по следующему алгоритму. Берём первую букву фразы, это буква М. Находим первую букву в шифровке, это буква П. Значит, буква М шифруется буквой П. Записываем под буквой М в таблице шифра букву П и переходим ко второй букве фразы шифровки. Если в какой-то момент нам встретится буква, которая есть в таблице вместе со своим кодом, её пропускаем и переходим к следующей. Так будем делать, пока не дойдём до конца фразы. В результате решения задачи в таблице шифра появляется 13 кодов букв.

Задача 155. Эта задача уже сложнее предыдущей, в ней необходимо проводить логические рассуждения. Главная цель при этом — разобраться, какая шифровка к какому слову относится. После этого задача становится аналогичной предыдущей. Можно разбить все слова и шифровки на две группы — трёхбуквенные и четырёхбуквенные. Рассмотрим шифровки трёхбуквенных слов. Две из них начинаются на одну букву, значит, это шифровки слов ПОКА и ПИЩА, а третья — шифровка слова НОТА. Аналогично выясняем, какие две шифровки относятся к словам ЛУГ и ЛУК, а какая — к слову ЛЬЮ. Чтобы установить однозначное соответствие в парах, заметим, что в шифровках слов ПОКА и ЛУК должна быть одинаковая третья буква. Так выясняется, что СИМЯ — шифровка слова ПОКА, а НОМ — шифровка слова ЛУК. Теперь, когда между словами и шифровками установлено полное соответствие, можно записывать в таблицу новые коды. В результате в таблице появляется 8 новых кодов (для букв Г, К, Н, П, Т, Щ, Ь, Ю), всего в таблице оказывается 21 код.

Задача 156. В целом задача аналогична предыдущей. Среди слов лучше сразу выделить группу ЧАЙ, ДАЙ, ЧЬЯ, ЧИЖ и найти в мешке шифровки этих слов. Три шифровки в мешке должны иметь одинаковую первую букву, а четвёртая шифровка — такую же последнюю букву, как одна из этих трёх. Так выясняется, что шифровка слова ЧАЙ — это ЩЯЙ, а ДАЙ — ЗЯЙ. Шифровку слова ЧЬЯ легко найти по мягкому знаку, код которого известен, а шифровку слова ЧИЖ — по букве И. Шифровки слов ЭХО и ЗУБ также легко находятся по кодам входящих в них гласных О и У. После того как для каждого слова нашлась шифровка, нужно записать новые коды в таблицу. В результате в таблице появляется ещё 9 новых кодов.

Задача 157. По объёму эта задача совсем небольшая. В результате решения задач 154—156 в таблице шифра остались незаполненными ровно 3 клетки, коды букв Ё, Ц, Ъ.

Задача 158. Стандартная задача на использование шифра, полученного в задачах 154—157. Здесь дети должны работать по алгоритму, состоящему из следующих шагов: 1) ищем очередную букву фразы; 2) ищем код этой буквы в таблице; 3) записываем этот код в шифровку и т. д., пока не закончатся буквы фразы. Чтобы не сбиться, удобнее вначале записать исходную фразу над окном.

Ответ: РЁМИПО РА ЖИДИТЁ.

Задача 159. В задачах 159—163 ребята работают с новым шифром, где буквы кодируются числами. В этой задаче ребята только знакомятся с шифром и начинают заполнять его таблицу. По содержанию задание совсем простое, но важное, поскольку, используя такую таблицу, шифрование выполнять гораздо удобнее, чем без неё. Если вы хотите, чтобы ребята сами в этом убедились, предложите им выполнить сразу задачу 160 (предварительно объяснив, как строится шифр, но без заполнения таблицы в задаче 159). Наверняка большинство ребят через несколько минут после начала решения предложат всё-таки сначала заполнить таблицу шифра.

Задачи 160 и 161. Цель данных задач в том, чтобы ребята освоились с новым шифром, научились им уверенно пользоваться перед решением более сложных задач 162 и 163. В задаче 160 алгоритм работы тот же, что был описан в задаче 158. Как и в задаче 158, чтобы не сбиться с текущей буквы и кода, лучше писать числа под буквами фразы — посоветуйте ребятам для начала переписать данную фразу над окном, оставляя между буквами побольше места. При расшифровке (в задаче 161) тоже стоит предварительно переписать шифровку над окном и затем записывать расшифрованные буквы ровно под кодами.

Ответ: СКОРО НАСТУПИТ ЛЕТО.

Задача 162. В данной задаче, в отличие от предыдущей, возникают разные варианты расшифровки, если между кодами букв не ставить точки: буквы в данном шифре могут кодироваться как однозначными, так и двузначными числами. Некоторые из этих вариантов сразу отпадают. Например, код первой буквы, очевидно, 9, поскольку в таблице нет кода 91. Дальше возможны варианты — код второй буквы может быть как 1, так и 13. Подобная ситуация порождает необходимость перебора всех вариантов, который удобно изобразить с помощью дерева. При этом некоторые ветки оказываются тупиковыми. Так, если код второй буквы — 1, а третьей — 32, то мы не получаем вообще никакого сочетания букв, поскольку ни 0, ни 01 кодом не являются. Некоторые варианты удаётся довести до конца, но при этом не все из них дают осмысленное слово русского языка. В данном случае оказывается 4 возможных сочетания букв, и из них лишь одно — слово русского языка: ЗАВТРА.

Задача 163. Задача аналогична предыдущей, но в ней детям придётся всю работу от начала и до конца провести самостоятельно. Дерево вариантов здесь больше: в нём больше уровней и гораздо больше вариантов (16 цепочек букв). Поэтому у ребят может возникнуть проблема размещения дерева в окне. Особенно много вершин окажется на пятом и шестом уровнях. Если вы опасаетесь, что детям будет трудно одновременно думать над структурой и оформлением дерева, попросите их вначале строить дерево на черновике (на стандартном листе бумаги или на развороте тетради).

Задача 164. Необязательная. Наиболее простой способ решения этой задачи состоит в том, чтобы сначала выписать все буквы, коды которых состоят только из цифр 1 и 2, а затем из данных букв составить слово русского языка.

Задача 165. Необязательная. Сложная задача, предназначенная в основном для сильных детей. Сначала надо подумать, в какой ситуации один и тот же код годится и для трёхбуквенного слова, и для четырёхбуквенного. Ситуация здесь может складываться по-разному, но самый простой вариант следующий: из двух идущих подряд цифр каждая сама по себе шифрует по букве, и вместе они тоже шифруют букву. Ищем такие буквы для первой пары цифр и одновременно перебираем в голове различные имена из трёх-четырёх букв. Из более или менее осмысленных вариантов находятся буквы В и А, которые вместе дают тот же код (без точек), что и буква Э.

Ответ: ВАЛЯ и ЭЛЯ.

Проект «Дневник наблюдений за погодой» (решение задач из тетради проектов и оформление итогового отчёта)