Дополнительные исследования

Работу по обобщению результатов можно продолжить. Итак, используя построенное дерево игры, мы можем сформулировать выигрышную стратегию для Второго пошагово, т. е. для каждого хода Первого указать на дереве ход Второго. Второй сможет следовать стратегии такого рода лишь в том случае, если у него перед глазами есть дерево игры, а это не всегда удобно. Хотелось бы иметь достаточно просто сформулированное общее правило, которое, в отличие от дерева игры, можно будет удержать в голове. В этом нам снова поможет дерево игры, но здесь потребуется уже его более глубокий, неформальный анализ.

Анализируя дерево игры, мы не делали ничего нового по сравнению с задачами учебника. Выигрышные и проигрышные позиции ребятам приходилось раскрашивать в дереве и раньше, выбирая выигрышный ход или серию ходов. Для формулирования более простого правила выигрыша придётся взглянуть на построенное дерево с другой стороны. Попросите каждую группу ещё раз проанализировать свою ветку (из задач 1—7 тетради проектов) и ответить на вопрос: «Может ли Второй из данной корневой позиции вообще проиграть?» Действительно, из некоторых позиций любая партия заканчивается выигрышем Второго. В результате работы групп выяснится, что таких позиций три: 5c, 5h и 5k. Таким образом, если Второй сможет в результате двух своих первых ходов создать на поле одну из этих позиций, то он выиграет в любом случае и никакая стратегия выигрыша ему дальше уже не нужна. Поэтому наша задача сводится к указанию первых двух ходов Второго в зависимости от первых двух ходов Первого. При этом вариантов должно получиться не так уж много, поскольку на втором уровне всего две разные позиции, а на третьем уровне Второй выбирает свою позицию сам и не обязан рассматривать все варианты ходов.

Следующий вопрос для группового обсуждения: «Может ли Второй в результате своих двух первых ходов при любой игре Первого создать на поле одну из позиций: 5c, 5h или 5k (из которых он впоследствии выигрывает всегда)?» Выполняя это задание, ребята анализируют первые пять уровней дерева (тетрадь проектов, с. 4—6). Прежде чем ребята начнут заниматься самостоятельными исследованиями, необходимо обратить их внимание на то, что Второй может выбирать только свои ходы (позиции третьего и пятого уровней), а все варианты ходов Первого он должен учитывать.

Анализируя первые пять уровней дерева, ребята двигаются от пятого уровня к первому. Вначале удобно пометить на с. 5 — 6 в тетради проектов все позиции пятого уровня, из которых Второй выигрывает всегда (например, обвести зелёным): это позиции 5c, 5h, 5k и 5m. Далее следует пометить все позиции четвёртого уровня, из которых существует ход в одну из обведённых зелёным позиций пятого уровня. В результате обводим зелёным все позиции, кроме позиций 4c, 4g, 4j. Затем находим на третьем уровне все позиции, каждая следующая у которых обведена зелёным, таких оказывается три: 3а, 3f и 3g. Теперь можно анализировать ход игры сначала, от корневой позиции. На первом ходу Первый может создать на поле одну из двух позиций (2a и 2i), поэтому придётся рассматривать два случая.

1-й случай

Пусть Первый на первом ходу создал на поле позицию 2а. Тогда Второй должен сделать ход в позицию 3а. После этого Первый может создать на поле только позицию 4а, из которой Второй может сделать ход в позицию 5с и выиграть при любом ходе игры.

Начало любой такой партии можно схематично (с точностью до поворотов и симметричного отображения поля) изобразить в виде цепочки:

2-й случай

Пусть Первый на первом ходу создал на поле позицию 2i. Тогда Второй может на втором ходу создать на поле позицию 3f или 3g. Итак, у нас есть выбор. Имеет смысл выбрать ту позицию, из которой дальше игра идёт проще (ведь мы хотим создать для Второго простое правило). Поэтому выбираем позицию 3g, ведь все следующие позиции после неё одинаковые. Далее Первый может создать на поле только позицию 4е, из которой Второй всегда может сделать ход в позицию 5k и выиграть при любом ходе игры.

Начало любой такой партии можно схематично (с точностью до поворотов и симметричного отображения поля) изобразить в виде цепочки:

Итак, мы сильно упростили для Второго правило выигрыша. Теперь ему достаточно держать в голове две цепочки из четырёх звеньев. Однако можно пойти дальше и попытаться описать словами действия Второго в зависимости от игры Первого. Если стремиться к тому, чтобы словесная формулировка была достаточно простой, то вряд ли удастся добиться формальной точности. Главное — договориться с детьми, что и как называть: ведь в дальнейшем от них потребуется не знать правило, а уметь ему следовать. Например, можно заметить, что восемь из девяти точек поля образуют квадрат (и одна в центре), и пользоваться соответствующей терминологией («отрезки», «стороны», «диагонали» и т. д.). Другой вариант — как-то назвать точки поля (например, «центральная», «угловые» и «боковые») и описывать в правиле, какую точку с какой следует соединять. Например: «Если на первом ходу Первый соединил боковую точку поля с центральной, то нужно продлить этот отрезок, тоже соединив центральную с противоположной боковой. Если на первом ходу Первый соединил угловую точку с боковой, то нужно продлить этот отрезок, соединив эту боковую с другой соседней угловой».

По окончании работы предложите детям сыграть ещё несколько партий в «ползунок» на поле размером 3 × 3 уже без опоры на дерево, пользуясь сформулированной стратегией (или сформулированной словесно, или держа в памяти цепочки начала партий).

Урок «Решение задач» (только для бескомпьютерного варианта изучения курса)

Решение задач 76—83 из учебника

Задача 76. Проследите, чтобы все ребята справились с этой задачей самостоятельно. Можно использовать это задание для текущего контроля. Раскрасив числовую линейку, ребята замечают, что все позиции, делящиеся на 3, проигрышные, а все остальные выигрышные. Поэтому в первом случае выигрышная стратегия есть у Первого, а во втором — у Второго.

Задача 77. Как и в задаче 72, дерево здесь является веткой из дерева с листа определений на с. 44, начальная позиция выигрышная, выигрышная стратегия имеется у Первого, а разумная партия всего одна: 6 — 2 — 1 — 0.

Задача 78. Необязательная. Здесь ребятам предстоит повторить особенности употребления конструкции «после каждой» для путей дерева. Действительно, поскольку требуется найти все объекты, удовлетворяющие условию, необходимо осуществить полный перебор всех путей дерева и для каждого проверить истинность утверждения в окне. При проведении этого перебора ребятам встретятся сложные ситуации, когда красная треугольная бусина в данном пути лишь одна и когда следующей за ней бусины нет. В результате получаем, что условию удовлетворяют три пути.

Задача 79. Знакомая детям задача на поиск выигрышной стратегии по дереву.

Задача 80. Задача на склеивание цепочек, в которой необходимо иметь чёткое представление о частях слова. Если вы не уверены, что дети хорошо помнят этот материал, можно предварительно повторить его. Эта и следующая задача (и задача 89) хорошо подходят для проведения интегрированных уроков. Подходящих корней здесь, конечно, много.

Задача 81. Для решения этой задачи не нужно использовать какие-либо сведения из программы русского языка, поскольку её можно рассматривать просто как пример на склеивание. Тем не менее, если у вас есть время, нелишне будет вспомнить соответствующий материал из курса русского языка.

Задача 82. Необязательная. Задача на повторение лексики, относящейся к деревьям, и построение объекта по описанию. Возможно, многие дети будут решать задачу методом проб и ошибок. Сильные учащиеся при этом будут проводить некоторые рассуждения, чтобы уменьшить число проб. Поскольку в дереве должно быть три пути, в нём три листа. На третьем уровне точно должен быть хотя бы один лист, так как в дереве 3 уровня. Попробуем разместить на третьем уровне ещё один лист. В дереве сразу получается два одинаковых пути (поскольку все бусины в дереве одинаковые), что противоречит условию. Значит, на третьем уровне только один лист. Сильные учащиеся после этого сразу сделают вывод, что нельзя размещать на одном уровне больше одного листа, а слабые придут к тому же результату в ходе проб. В итоге у всех детей деревья должны получиться одинаковыми — состоящими из пяти бусин. По этой причине и утверждения в таблице у всех должны иметь одинаковые значения истинности: Л, И, Л, И.

Задача 83. Необязательная. Решение данной задачи потребует определённой аккуратности. Тонкость здесь такая (о ней мы говорили раньше и напоминаем сейчас): выражение «следующая бусина после каждой красной — зелёная квадратная» означает, что после каждой красной бусины стоит какая-то бусина, т. е. всякая красная бусина — не последняя (а значит, последняя бусина — не красная).

Возможно, кто-то заметит, что «бусины в цепочке повторяются», «идут в одном порядке» и т. д. Это действительно так, цепочки наши периодические. Как это точно сформулировать? Если разговор возникнет, подумайте, что в точности мы хотим сказать. Одна из точных формулировок состоит в том, что для каждой бусины третья после неё, если она есть, такая же, как и она сама. Если разговор об этом не зайдёт, то такое обсуждение необязательно.

Ответ: