Теорема 2. 8 страница

.

139. Пусть в области G определено нестационарное скалярное поле : величина u является функцией точки и времени t. Рассмотрим движущуюся в области G точку . Координаты точки изменяются со временем по известному закону , , . Величина u в движущейся точке М является сложной функцией t: .

Вычислим производную по t этой функции (она называется полной производной). По правилу дифференцирования сложной функции находим

.

Введем в точке М вектор скорости = { V_x, V_y, V_z } = . Тогда

или

. (*)

Аналогично, если в области G задано нестационарное векторное поле , то для движущейся точки векторная величина а является сложной функцией t: . Полную производную по t для каждой координаты вектор-функции а можно вычислить по формуле (*). Умножая результаты на базисные векторы i, j, k и складывая, получим

. (**)

(называется субстанциональной производной)

В формулах (*) и (**) слагаемые и выражают скорости изменения величин u и а со временем при фиксированных координатах, т. е. характеризуют локальное изменение этих величин, и поэтому называются локальными производными. Слагаемые и образуются за счет изменения координат точки, ее движения (конвекции). Поэтому эти слагаемые в выражениях полных производных называются конвективными производными.

Локальные производные характеризуют нестационарность рассматриваемого физического поля в данной точке пространства. Конвективные производные характеризуют неоднородность поля в данный момент времени.

140. Пусть в области G заданы скалярное поле и векторное поле , причем функции u, P, Q, R имеют в области G непрерывные частные производные второго порядка. Тогда и являются дифференцируемыми векторными полями, а – дифференцируемым скалярным полем.

К векторным полям и можно применить операции вычисления дивергенции и ротора, а к скалярному полю – операцию вычисления градиента. Таким образом, получаем повторные операции: div grad u, rot grad u, div rot a, rot rot a, grad div a.

Операцию div grad называют оператором Лапласа и обозначают символом ∆.

141. rot grad u = [ ∙ u ] = 0 (потенциальное поле grad u является безвихревым) и

div rot a = ( [ ∙ a ]) = 0 (векторное поле rot a является соленоидальным).

142. Определение. Операцию div grad называют оператором Лапласа и обозначают символом ∆.

С помощью оператора Гамильтона оператор Лапласа для скалярного поля u (M) записывается в виде ∆ u = div grad u = ( ∙( u)) = ∆² u = .

143. Определение. Функция u, удовлетворяющая в некоторой области уравнению Лапласа ∆ u = 0, называется гармонической в этой области. Например, линейная функция является гармонической в любой области. Кроме того, потенциал электрического поля точечного заряда или поля тяготения точечной массы, имеющий вид (, ), при удовлетворяет уравнению Лапласа.

144. Теорема. Произвольное непрерывно дифференцируемое векторное поле а (М) может быть представлено в виде

a (M) = а ₁(М) + а ₂(М), (*)

где а ₁ − потенциальное поле, а ₂ − соленоидальное поле.

Доказательство. Если функция u есть решение уравнения , то, полагая (по определению потенциального поля), (чтобы векторное поле а ₂(М) было соленоидальным, оно должно удовлетворять условию ), тогда

,

откуда ∆ u = div a (M)), и получаем представление поля а (М) в виде (*), ч. т. д.

Уравнение – неоднородное уравнение в частных производных второго порядка, называемое уравнением Пуассона: ∆ u ≡ = f, .

145. Рассмотрим векторное поле а (М), определенное в пространственной области G, и некоторую кусочно-гладкую ориентированную поверхность Ф G. Пусть n (M) − поле единичных нормалей на выбранной стороне поверхности Ф.

Определение. Поверхностный интеграл = называется потоком векторного поля a (M) через поверхность Ф в сторону, определяемую вектором n (говорят также: поток через выбранную сторону поверхности Ф).

Если в системе координат Oxyz a = { P, Q, R }, а n = {cos α, cos β, cos γ}, то выражение для потока векторного поля а (М) можно записать в виде

.

Каждое слагаемое в правой части последнего равенства зависит от выбора системы координат, однако их сумма, т. е. поток , не зависит от выбора системы координат.

146. Примеры потоков физических векторных полей через заданные поверхности:

1) Если а = v – скорость движущейся жидкости, то представляет собой количество (объем) жидкости, протекающей через поверхность Ф в заданную сторону в единицу времени. Эта величина называется в физике потоком жидкости через поверхность Ф.

2) Электрическое поле Е точечного заряда е, помещенного в точку N.

147. Пусть в области G определено векторное поле a = { P, Q, R }; Ф – замкнутая поверхность, ограничивающая область G; n (M) = {cosα, cosβ, cosγ} – единичный вектор внешней нормали к поверхности Ф в точке М.

Теорема. Пусть функции P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) и их частные производные непрерывны в простой замкнутой области G, ограниченной кусочно-гладкой поверхностью Ф.

Тогда справедлива формула

,

где поверхностный интеграл берется по внешней стороне поверхности.

Другая запись:

.

Эта формула называется формулой Остроградского-Гаусса.

Подынтегральная функция в тройном интеграле есть div a, а поверхностный интеграл представляет собой поток векторного поля а через поверхность Ф. Поэтому вышеприведенную формулу можно записать в векторной форме:

а dV = .

Физический смысл формулы Остроградского-Гаусса: поток векторного поля а через замкнутую поверхность в сторону внешней нормали равен тройному интегралу по области, ограниченной этой поверхностью, от дивергенции векторного поля а.

Чтобы поток был отличен от нуля, внутри области G должны быть источники (или стоки) поля. Из формулы Остроградского-Гаусса следует, что тогда и div a будет отлична от нуля. Таким образом, div a характеризует источники поля. Само векторное поле как бы расходится от источников.

148. Определение. Если кусочно-гладкая замкнутая поверхность Ф полностью лежит в области G вместе с областью, ограниченной поверхностью Ф, то область G называется объёмно-односвязной.

Примерами объемно односвязных областей являются шар, параллелепипед, тор. Область, заключенная между двумя сферами, не является объемно односвязной.

149. Слово «соленоидальное» означает «трубчатое». Для соленоидального поля имеет место закон сохранения интенсивности векторной трубки. Он состоит в следующем.

В соленоидальном (трубчатом) векторном поле а поток через любое сечение векторной трубки имеет одно и то же значение.

150. Пусть в области G, ограниченной поверхностью Ф, определено векторное поле а (М). Формула дает инвариантное определение дивергенции векторного поля, т. е. дивергенция векторного поля зависит только от самого поля и не зависит от выбора системы координат.

151. Рассмотрим векторное поле а (М), определенное в пространственной области G, и некоторую кусочно-гладкую кривую L G, на которой указано направление обхода (выбор направления обхода называют также ориентацией кривой). Пусть τ (M) – единичный касательный вектор к кривой L в точке М, направленный в сторону обхода кривой.

Определение. Криволинейный интеграл называется циркуляцией векторного поля а вдоль кривой L в заданном направлении.

Если в прямоугольной системе координат Oxyz a = { P, Q, R }, а τ = {cosα, cosβ, cosγ}, то выражение для циркуляции векторного поля а можно записать в виде

= . (*)

Каждое слагаемое в правой части (*) зависит от выбора системы координат, однако их сумма, т. е. циркуляция не зависит от выбора системы координат.

Если ввести вектор d r = { dx, dy, dz }, то циркуляцию можно записать в виде

.

152. Формула Стокса.

Пусть в области G определено векторное поле ; L – замкнутый контур, лежащий в области G; Ф – произвольная поверхность, границей которой является контур L; Ф G (говорят: поверхность Ф натянута на контур L); – единичный вектор нормали на выбранной стороне поверхности Ф.

Поверхность Ф называется xyz-проектируемой, если она однозначно проектируется на каждую координатную плоскость прямоугольной системы координат Oxyz.

Теорема. Пусть гладкая xyz проектируемая ориентированная поверхность Ф ограничена кусочно-гладким контуром L и расположена внутри области G, в которой функции P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) имеют непрерывные частные производные первого порядка. Тогда справедлива формула Стокса

,

где контур L обходится в положительном направлении.

Иначе:

,

где ориентация контура L согласована с ориентацией поверхности Ф. Левая часть формулы Стокса есть циркуляция векторного поля а вдоль контура L, а правая часть представляет собой поток через поверхность Ф векторного поля с координатами , , , т. е. поток rot a через поверхность Ф.

Поэтому формулу Стокса можно записать в векторной форме:

или

,

где τ (M) – единичный касательный вектор к кривой L в каждой её точке М, направленный в сторону обхода кривой.

Физический смысл формулы Стокса: циркуляция векторного поля а вдоль замкнутого контура равна потоку ротора векторного поля а через поверхность, натянутую на этот контур.

153. Пусть дано векторное поле а (М) = { P, Q, R }.

У словие rot a = 0 является необходимым и достаточным условием потенциальности поля а (М) в поверхностно односвязной области

.

Потенциал потенциального поля а (М) = { P, Q, R } в поверхностно односвязной области можно вычислить по формуле:

u (x,y,z) = = + + .

154. Пусть в области G определено векторное поле а (М). Зафиксируем точку М и некоторую плоскость, проходящую через эту точку. Пусть n – единичный вектор нормали к плоскости, L – замкнутый контур, лежащий в плоскости и ограничивающий область Ф такую, что М – внутренняя точка области Ф. τ (M) – единичный касательный вектор к кривой L в точке М, направленный в сторону обхода кривой L.

Рассмотрим формулу

(rot a ∙ n) _M = .

В правую часть формулы входят величины, инвариантные относительно выбора системы координат (циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура и площадь плоской области). Поэтому данная формула дает инвариантное определение проекции rot a в точке М на направление, определяемое заданным вектором n.