Теорема 2. 1 страница

Снежинская Государственная Физико-Техническая Академия

А.Д.Зубов, В.Л.Соколовская

Математический анализ

В вопросах и ответах

Издание 2-е, переработанное и дополненное

Учебное пособие

Снежинск

УДК 517.0

Математический анализ в вопросах и ответах. Изд. 2-е, перераб. и доп. / сост. А.Д.Зубов, В.Л.Соколовская. - Снежинск: СГФТА, 2009. – 67 с.

"Математический анализ в вопросах и ответах" является, по замыслу авторов, собранием фактов курса дифференциального и интегрального исчисления, которые студент-математик должен знать без обращения к справочникам и курсам лекций.

Пособие предназначается, в первую очередь, студентам и аспирантам физико-математических специальностей. Может представить интерес как справочное пособие для научных работников в области прикладной математики, гидродинамики, механики, физики.

Рецензент: Г.В.Байдин, кандидат физ.-мат. наук,

ведущий научный сотрудник РФЯЦ-ВНИИТФ

Утверждено на заседании кафедры «Прикладные физика и математика»

Одобрено методическим советом СГФТА

© Снежинская государственная физико-техническая академия

Содержание

Вопросы по математическому анализу. 4

Ответы.. 13

Литература. 64

Вопросы по математическому анализу

– Скажите, пожалуйста, куда мне

отсюда идти?

– А куда ты хочешь попасть? – ответил Кот.

– Мне все равно… – сказала Алиса.

– Тогда все равно, куда и идти, – заметил Кот.

– … только бы попасть куда-нибудь, –

пояснила Алиса.

– Куда-нибудь ты обязательно попадешь, –

сказал Кот. – Нужно только достаточно

долго идти.

/Л.Кэрролл. «Алиса в Стране чудес»/

1. Что такое необходимое условие, достаточное условие, необходимое и достаточное условие? Примеры.

2. Какие типы определений используются в математике? Привести примеры.

3. Что такое множество, что является его элементами (точками)? Привести примеры.

4. Какие множества называются равными, что называется подмножеством?

5. Какое множество называется универсальным? Пустым? Привести примеры.

6. Что такое объединение множеств, их пересечение, разность, дополнение, симметрическая разность?

7. Сформулировать 12 свойств операций над множествами.

8. Дать определения: 1) декартового произведения множеств; 2) отображения множеств; 3) образа при отображении, прообраза элемента.

9. Дать определения: 1) образа множества, (полного) прообраза множества; 2) области определения, множества (или области) значений; 4) значения аргумента, значения функции в точке.

10. Дать определение функции.

11. Что такое сюрьективное, иньективное и биективное отображения? Какое отображение называется взаимно однозначным?

12. Дать определение эквивалентных (равномощных) множеств. Определение счётного множества. Примеры счетных и несчетных множеств.

13. Дать определение бинарного отношения. Примеры.

14. Что такое отношение эквивалентности? Перечислить его три свойства. Примеры и контрпримеры.

15. Классы эквивалентности. Теорема о двух классах эквивалентности множества. Фактор-множество. Примеры.

16. Дать определение мощности, или кардинального числа. Трансфинитные кардинальные числа.

17. Наименьшее трансфинитное кардинальное число. Теорема Кантора о множестве частей данного множества.

18. Континуум-гипотеза. Обобщённая континуум-гипотеза.

19. Определение вещественного числа. Основные свойства вещественных чисел (15 свойств).

20. Аксиома Архимеда (16-е свойство).

21. Свойство полноты множества вещественных чисел (17-е свойство). Точная верхняя грань или «супремум» множества. Двойственное ему понятие. Теорема о неполноте множества рациональных чисел.

22. Лемма об отделимости множеств на вещественной прямой.

23. Определение системы вложенных отрезков (СВО). Лемма о СВО.

24. Определение последовательности вложенных отрезков (ПВО) и стягивающейся ПВО. Лемма о стягивающейся ПВО.

25. В чем состоит метод математической индукции?

26. Фомулы бинома Ньютона и полинома Ньютона.

27. Неравенство Бернулли.

28. Сформулируйте определения:

а) расстояния между точками в ;

б) открытого шара в ;

в) ограниченного множества в , ограниченного сверху (снизу) множества в ;

г) неограниченного сверху множества в (с помощью кванторов );

д) точной верхней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества в ;

е) внутренней точки множества, граничной точки;

ж) открытого множества, замкнутого;

з) связного множества;

и) окрестности точки;

к) области, замкнутой области;

л) предельной точки множества;

м) характеристической функции множества.

29. Сформулируйте определения:

а) числовой последовательности;

б) ограниченной и неограниченной последовательности;

в) предела последовательности, сходящейся последовательности.

Дайте геометрическую интерпретацию этих определений.

г) Сформулируйте теорему о пределе сходящейся последовательности.

в) Сформулируйте необходимое условие сходимости последовательности.

30. Сформулируйте принцип Больцано-Коши сходимости последовательности. Постройте отрицание этого принципа.

31. Сформулируйте определения:

а) бесконечно малой последовательности;

б) бесконечно большой последовательности.

Является ли любая неограниченная последовательность бесконечно большой?

Привести пример.

32. Сформулируйте теорему о трех последовательностях ("о двух милиционерах").

33. Сформулируйте теорему Штольца.

34. Сформулируйте:

а) определение монотонной последовательности;

б) признак сходимости монотонной последовательности.

35. Сформулируйте определения:

а) подпоследовательности;

б) предельной точки последовательности (дайте два определения и докажите их эквивалентность);

в) верхнего (нижнего) предела последовательности.

36. Сформулируйте теорему (лемму) Больцано-Вейерштрасса об ограниченной последовательности.

37. Сформулируйте два определения фундаментальной последовательности и докажите их эквивалентность. Дайте геометрическую интерпретацию этих определений.

38. Сформулируйте критерий Коши сходимости последовательности.

39. Сформулируйте определение предельной точки множества.

Сформулируйте определения (по Коши и по Гейне):

а) предела функции в точке и односторонних пределов;

б) предела функции в бесконечности.

40. Сформулируйте общий признак Больцано-Коши существования конечного предела функции (принцип сходимости). Постройте отрицание этого утверждения.

41. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке. Какие точки называются точками разрыва функции?

42. Дайте определения точки устранимого разрыва и точек разрыва 1-го и 2-го рода.

43. Напишите два первых замечательных предела.

44. Какие функции называются элементарными?

45. Дайте определение бесконечно малой функции (б.м.ф.):

а) при ;

б) при .

Приведите примеры.

46. Сформулируйте определение и приведите примеры б.м.ф. :

а) одного порядка с функцией в точке а;

б) эквивалентной функции в точке а;

в) более высокого порядка при , чем .

Что означает символическая запись при ?

47. Напишите асимптотические формулы для функций , , , , , , при .

48. Напишите асимптотическую формулу Стирлинга для факториала числа .

49. Дайте определение производной функции в точке . Каков физический и геометрический смысл производной?

50. Дайте определение дифференцируемости функции в данной точке.

51. Что такое дифференциал функции в данной точке? Каков его геометрический смысл?

52. Напишите производные простейших элементарных функций.

53. Чему равны производные:

а) произведения функций;

б) частного;

в) обратной функции;

г) сложной функции;

д) функции, заданной параметрически?

54. Чему равны n -е производные функций ?

55. Что понимается под инвариантностью формы первого дифференциала?

56. Дайте определение ограниченной сверху (снизу) на множестве Х функции.

57. Сформулируйте 1-ю и 2-ю теоремы Больцано-Коши о непрерывных функциях.

58. Сформулируйте теорему о локальной ограниченности непрерывной функции.

59. Сформулируйте 1-ю и 2-ю теоремы Вейерштрассао непрерывных на сегменте функциях.

60. Дайте определение равномерной непрерывности функции.

61. Сформулируйте теорему Кантора. Следствие.

62. Сформулируйте лемму Бореля о конечном покрытии.

63. Дайте определение возрастания (убывания) функции в точке и на промежутке.

64. Сформулируйте теорему, выражающую достаточное условие возрастания функции в точке.

65. Сформулируйте теорему, выражающую необходимое и достаточное условие монотонности дифференцируемой функции на промежутке.

66. Сформулируйте теорему, выражающую достаточное условие строгой монотонности функции на промежутке.

67. Сформулируйте теоремы Ферма, Дарбу, Ролля, Лагранжа, Коши. Каковы физическая и геометрическая интерпретации теоремы Лагранжа?

68. Сформулируйте правило Лопиталя раскрытия неопределенностей (3 случая).

69. Сформулируйте теорему о формуле Тейлора с остаточным членом:

а) в общей форме;

б) в форме Пеано;

в) в форме Лагранжа;

г) в форме Коши;

д) в интегральной форме.

70. Напишите разложения по формуле Маклорена функций , , , , .

71. Дайте определения и приведите примеры:

а) вертикальной асимптоты графика функции;

б) наклонной асимптоты при (аналогично при ).

Сформулируйте теорему о необходимых и достаточных условиях существования наклонной асимптоты.

72. Дайте определение локального экстремума функции. Сформулируйте необходимое условие экстремума и два достаточных условия.

73. Дайте определения:

а) направления выпуклости графика функции;

б) точки перегиба графика функции.

Сформулируйте:

а) необходимое условие перегиба;

б) достаточное условие.

Приведите примеры.

74. Приведите схему построения графика функции.

75. Что такое определенный интеграл?

76. Напишите формулу (формулы) среднего значения.

77. Дайте определение первообразной для функции на промежутке Х.

78. Напишите основные неопределенные интегралы.

79. Напишите формулы замены переменной и интегрирования по частям.

80. Сформулируйте правило Лейбница о дифференцировании определенного интеграла по параметру.

81. Что такое простая незамкнутая (замкнутая) кривая?

82. Дайте определение предела длин ломаных при . Что такое спрямляемая кривая? Длина кривой?

83. По каким формулам вычисляется длина кривой:

а) заданной параметрически;

б) в декартовых координатах;

в) в полярных координатах?

84. Что такое плоская фигура? Квадрируемая фигура? Площадь плоской фигуры?

85. По каким формулам вычисляется площадь фигуры:

а) заданной параметрически;

б) в декартовых координатах;

в) в полярных координатах?

86. Что называется телом? Что такое кубируемое тело? Объем тела?

87. По какой формуле вычисляется:

а) объем тела с известными поперечными сечениями;

б) объем тела вращения?

88. Какое множество называется счетным? Что такое множество мощности континуума?

89. Когда говорят, что числовой ряд сходится? Что такое сумма ряда?

90. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.

91. Сформулируйте признаки Даламбера и Коши и интегральный сходимости рядов.

92. Сформулируйте признак Лейбница для сходимости знакочередующихся рядов.

93. Сформулируйте достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. Какие ряды называются абсолютно, какие условно (неабсолютно) сходящимися? Привести примеры.

94. Какой ряд называется функциональным? Что называется областью сходимости функционального ряда?

95. Какой функциональный ряд называется:

а) мажорируемым;

б) равномерно сходящимся?

96. Что можно сказать о сумме ряда непрерывных функций, мажорируемого на некотором отрезке?

97. Сформулируйте теоремы об интегрировании и дифференцировании функциональных рядов.

98. Напишите формулу для радиуса сходимости степенного ряда. Чему равен радиус сходимости ряда, полученного почленным дифференцированием данного степенного ряда?

99. Напишите общий вид тригонометрического ряда Фурье и формулы для определения его коэффициентов.

100. Сформулируйте теорему о достаточных условиях представимости функции рядом Фурье.

101. Дать определение функции двух (и нескольких) переменных.

102. Дать определения (в -мерном пространстве): внутренней точки, открытой области, точки сгущения, пограничных точек, границы, замкнутой области. Привести примеры открытых и замкнутых областей.

103. Дайте определение предела функции многих переменных.

104. Сформулируйте теорему о связи между двойными и повторными пределами.

105. Дайте определение частной производной функции по аргументу во внутренней точке области определения функции. Каков физический смысл частной производной?

106. Что такое дифференциал функции в данной точке? От каких аргументов он зависит? Что понимается под инвариантностью формы первого дифференциала?

107. Сформулируйте теорему о достаточных условиях равенства смешанных производных нескольких переменных. Привести контрпример.

108. Дайте определение экстремума функции нескольких переменных.

109. Сформулируйте необходимые условия экстремума. Стационарные точки.

110. Сформулируйте достаточные условия существования (или отсутствия) экстремума функции двух переменных.

111. Какая функция называется неявной? Сформулируйте теорему о существовании неявной функции и правило ее дифференцирования.

112. Дайте определение функции, зависимой от других функций в некоторой области. Определения зависимости и независимости функций.

113. Сформулируйте теорему о достаточном условии независимости функций; общую теорему о зависимости и независимости функций.

114. Сформулируйте определение условного экстремума функции.

115. Напишите формулы перехода от прямоугольных координат к цилиндрическим координатам . Вычислите якобиан перехода. Что представляют собой координатные поверхности и координатные линии ?

116. Напишите формулы перехода от прямоугольных координат к сферическим координатам . Вычислите якобиан перехода. Что представляют собой координатные поверхности , , и координатные линии , , ?

117. Напишите формулу для вычисления объема тела в криволинейных координатах. Что такое элемент объема в криволинейных координатах? Каков геометрический смысл якобиана отображения?

118. Сформулируйте определения:

а) интегральных сумм для криволинейного интеграла 1-го рода;

б) предела этих сумм;

в) криволинейного интеграла 1-го рода.

119. То же для криволинейного интеграла 2-го рода.

120. Напишите формулу Грина и сформулируйте условия, при которых она верна.

121. Назовите способы задания поверхности.

122. Дайте определение гладкой поверхности. Напишите уравнения касательной плоскости к поверхности в данной точке и вектора нормали.

123. Дайте определение поверхностного интеграла 1-го рода.

124. Дайте определение поверхностного интеграла 2-го рода. Определение общего поверхностного интеграла 2-го рода. Каков его физический смысл?

125. Какая область называется поверхностно односвязной? Приведите примеры поверхностно односвязных областей и областей, не являющихся поверхностно односвязными.

126. Дайте определение скалярного и векторного полей и приведите примеры физических полей.

127. Что такое поверхности (линии) уровня, векторные линии?

128. Дайте определение производной по направлению для скалярного и векторного полей. Как связана производная по направлению с частными производными?

129. Дайте определение градиента скалярного поля. Как связана производная по направлению с градиентом скалярного поля в данной точке?

130. Какое векторное поле называется потенциальным? Приведите примеры потенциальных полей.

131. Дайте определение дивергенции векторного поля. Каков физический смысл дивергенции?

132. Дайте определение ротора векторного поля. Каков физический смысл ротора?

133. Какое векторное поле называется безвихревым? Приведите примеры безвихревых полей.

134. Какое векторное поле называется соленоидальным? Приведите примеры соленоидальных полей.

135. Что такое скалярный потенциал; векторный потенциал?

136. Напишите систему уравнений Максвелла. Какое из уравнений Максвелла выражает факт отсутствия магнитных зарядов?

137. Что такое оператор Гамильтона?

138. Запишите с помощью оператора Гамильтона:

а) градиент скалярного поля;

б) дивергенцию векторного поля;

в) ротор векторного поля;

г) формулы для производной скалярного и векторного полей по направлению .

139. Что такое полная производная; локальная производная; конвективная производная? Что они характеризуют и каким соотношением связаны?

140. Перечислите повторные дифференциальные операции в скалярных и векторных полях.

141. Результаты каких повторных дифференциальных операций тождественно равны нулю?

142. Что такое оператор Лапласа и как он связан с оператором ?

143. Приведите примеры функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа . Как называются такие функции?

144. Объясните, как представить произвольное векторное поле в виде суммы потенциального и соленоидального полей.

145. Что называется потоком векторного поля через поверхность? Напишите выражения для потока в векторной форме и в прямоугольных координатах.

146. Приведите примеры потоков физических векторных полей через заданные поверхности.

147. Запишите формулу Остроградского-Гаусса в прямоугольных координатах и в векторной форме. Сформулируйте условия, при которых она справедлива. Каков физический смысл формулы Остроградского-Гаусса?

148. Какая область называется объемно односвязной? Приведите примеры объемно односвязных областей и областей, не являющихся объемно односвязными.

149. Сформулируйте закон сохранения интенсивности векторной трубки для соленоидального поля.

150. Дайте инвариантное (независимое от выбора системы координат) определение дивергенции векторного поля.

151. Что называется циркуляцией векторного поля вдоль кривой? Напишите выражение для циркуляции в векторной форме и в прямоугольных координатах.

152. Запишите формулу Стокса в прямоугольных координатах и в векторной форме. Сформулируйте условия, при которых она верна. Каков физический смысл формулы Стокса?

153. Сформулируйте необходимое и достаточное условие потенциальности поля а (М) в поверхностно односвязной области и напишите формулу вычисления потенциала поля а (М).

154. Дайте инвариантное (независимое от выбора системы координат) определение ротора векторного поля.

Ответы

– А ты здесь откуда? – спросила Королева. – И куда

это ты направляешься? Смотри мне в глаза!

Отвечай вежливо! И не верти пальцами!

/Л.Кэрролл. «Алиса в Зазеркалье» /

– Располагая этой информацией, вы сможете прийти

к какому-нибудь правильному заключению.

/Записки о Ш.Холмсе. «Знак четырех»/

1. Необходимое условие – условие правильности утверждения А, без выполнения которого утверждение А заведомо не может быть верным.

Достаточное условие – условие, при выполнении которого утверждение А заведомо верно.

Необходимое и достаточное условие (критерий) – утверждение А, которое одновременно необходимо и достаточно для правильности некоторого другого утверждения В (т.е. можно доказать как теорему , так и обратную теорему ).

Примеры: 1) существование предела функции в точке – необходимое условие её непрерывности в этой точке (но не достаточное!), 2) равенство предела функции в точке её значению в этой точке – необходимое и достаточное условие её непрерывности в этой точке (по самому определению непрерывности), 3) дифференцируемость функции в точке – достаточное условие её непрерывности в данной точке, 4) стремление к нулю общего члена ряда – необходимое (но не достаточное!) условие сходимости ряда.