Теорема 2. 2 страница

2. Имеется два основных типа определений в математике: 1) логически строгое сведение определяемого объекта к уже введенным понятиям; 2) описательное определение с помощью слов разговорного языка.

Примеры: 1) окружность, как плоская кривая, все точки которой находятся на данном расстоянии r от фиксированной точки С (1-й тип), 2) множество (2-й тип), см. ниже.

3. Множество – это совокупность объектов любой природы. Объекты, образующие в своей совокупности данное множество, называются его элементами или точками.

Примеры: множество всех стульев в аудитории, множество-собрание богов на древнегреческом Олимпе, всех натуральных чисел, множество всех чётных чисел, множество всех простых чисел, множество всех кругов на плоскости, множество всех правильных многогранников и т.д.

4. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Если все элементы множества принадлежат множеству , то называется подмножеством множества , и пишут: (или ).

5. Некоторое фиксированное множество , если все рассматриваемые в данном контексте множества являются его подмножествами, называется универсальным. Например, для множества натуральных чисел, множества действительных чисел, множества квадратных матриц универсальным будет некое общее числовое множество.

Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое множество является подмножеством любого множества из .

6. Множество называется объединением множеств и , если оно состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из указанных множеств.

Пересечением множеств и называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и , и , т.е. элементов, общих для этих множеств.

Разностью двух множеств и называется множество, состоящее из всех элементов , не принадлежащих .

Множество называется дополнением , или дополнением до множества .

Симметрической разностью двух множеств и называется множество .

7. Свойства операций над множествами:

8. Декартовым произведением множеств и называют множество всех возможных пар , где первый элемент каждой пары принадлежит , а второй её элемент принадлежит .

Подмножество декартова произведения двух множеств называется отображением множества в множество , если выполнено следующее условие: пара . Напоминание: квантор означает «существует единственный».

Пусть отображение определяется так: , такое, что . Тогда элемент называется образом при отображении и записывается так: . Элемент называется прообразом (одним из возможных) элемента .

9. Множество всех элементов называется образом множества при отображении , т.е. . Для множества само множество при отображении называется (полным) прообразом множества С. Множество называется областью определения, а множество – множеством (или областью) значений. Каждый элемент называется значением аргумента (или просто аргументом), а элемент – значением функции в точке .

10. Функцией называется правило, по которому каждому элементу ставится в соответствие строго один элемент множества . Пишут: .

11. Отображение называется сюрьективным, или отображением «на» (т.е. отображением на ), накрытием, если .

Отображение называется инъективным, или вложением, если у каждой точки существует строго один прообраз, т.е. из условия следует, что .

Отображение называется биективным, или взаимно однозначным, если оно одновременно является накрытием и вложением.

12. Множества и называются эквивалентными (равномощными), если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Обозначается . Счетным множеством называется всякое множество, эквивалентное множеству натуральных чисел. Мощностью континуума называется мощность множеств, эквивалентных множеству всех последовательностей, составленных из нулей и единиц.

13. Если на множестве задано множество всех пар , удовлетворяющих некоторому отношению (условию), то говорят, что на задано бинарное отношение.

14. Отношением эквивалентности называется бинарное отношение , обладающее тремя свойствами: а ) рефлексивность: ; б ) симметричность: из следует ; в ) транзитивность: если и , то .

15. Для произвольного множество , состоящее из всех , эквивалентных , называется классом эквивалентности. Любые два класса эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают. Совокупность элементов, состоящих из одного элемента (представителя) каждого класса эквивалентности, называется фактор-множеством.

16. Отношение « равномощно » является отношением эквивалентности между множествами. Класс эквивалентности, т.е. класс всех множеств, равномощных данному множеству, называется мощностью, или кардинальным числом. Конечные кардинальные числа являются классами эквивалентности конечных множеств. Эти числа по определению являются целыми натуральными числами и нулём: 0, 1, 2,... Бесконечное кардинальное число, т.е. мощность бесконечного множества, называется трансфинитным кардинальным числом, или трансфинитным числом.

17. Мощность любого счетного множества равна мощности счётного множества , которая является наименьшим трансфинитным числом. Множество всех подмножеств множества не равномощно ни самому множеству , ни его подмножеству (теорема Кантора).

18. Согласно континуум-гипотезе, , где – мощность счётного множества, является кардинальным числом, непосредственно следующим за . Обобщённая континуум-гипотеза заключается в предположении, что при любом кардинальном числе кардинальное число непосредственно следует за . П.Коэн (1963) доказал неразрешимость континуум-гипотезы (а, следовательно, и обобщённой).

19. Вещественное (или действительное) число – это конечная или бесконечная десятичная дробь, взятая со знаком «+» или «–».

Названия свойств:

1. Упорядоченность.

2. Транзитивность.

3. Существование суммы.

4. Ассоциативность суммы.

5. Коммутативность суммы.

6. Существование нуля.

7. Существование отрицательного (противоположного) числа.

8. Существование произведения.

9. Ассоциативность умножения.

10. Коммутативность умножения.

11. Существование единицы.

12. Существование обратного числа.

13. Дистрибутивность.

14. Упорядоченность по сумме.

15. Упорядоченность по умножению.

20. Аксиома Архимеда (16-е свойство):

16⁰. такое, что .

21. Свойство полноты множества вещественных чисел (17-е свойство).

17⁰. Для всякого непустого ограниченного сверху множества множество его верхних граней содержит минимальный элемент , т.е. существует единственный элемент такой, что 1) – верхняя грань множества , т.е. для всех имеем ; 2) – наименьший элемент множества , т.е. для всех справедливо неравенство .

Элемент называется точной верхней гранью или супремумом множества и обозначается .

Аналогично определяется точная нижняя грань, или инфимум.

Теорема: Множество рациональных чисел не является «полным», т.е. для него не выполнено свойство 17⁰.

Для любых вещественных , таких, что существует рациональное число такое, что . Аналогично, между любыми числами существует иррациональное число.

22. Лемма (об отделимости множеств). Пусть и – непустые множества на вещественной прямой, т.е. . Пусть также для любых и для любых выполняется неравенство .

Тогда существует число такое, что для всех и для всех имеет место неравенство .

23. Системой вложенных отрезков (СВО) называется множество , элементами которого являются отрезки, причем такое, что для любых имеем: или .

Лемма (о системе вложенных отрезков). Пусть – СВО. Тогда существует число такое, что для любого отрезка будем иметь . Это означает, что все отрезки имеют общую точку .

24. Система вложенных отрезков(СВО) называется последовательностью вложенных отрезков (ПВО), если все эти отрезки занумерованы, причем отрезок с бОльшим номером содержится в каждом отрезке с меньшим номером.

Последовательностью вложенных отрезков (ПВО) называется стягивающейся (ПСО), если среди входящих в неё отрезков найдутся отрезки как угодно малой длины. Иначе говоря, в ПСО содержится и отрезок длиной меньше .

Лемма. Последовательность стягивающихся отрезков содержит общую точку и притом только одну.

25. Метод математической индукции:

а) доказать утверждение для (обычно или 1);

б) доказать, что если утверждение верно для , то оно верно и для .

26. Формула бинома Ньютона: , где

– биномиальный коэффициент.

Формула полинома Ньютона для слагаемых:

.

27. Теорема (неравенство Бернулли). При и при натуральном справедливо неравенство .

28. а) Расстояние между точками и в :

.

б) Множество точек называется открытым n-мерным шаром радиуса R c центром в точке А.

в) Множество называется ограниченным, если все его точки содержатся в некотором шаре.

Определение ограниченного сверху множества: .

Определение ограниченного снизу множества: .

г) Определение неограниченного сверху множества: – отрицание определения ограниченного сверху множества.

д) Определение точной верхней грани ограниченного сверху множества X: , аналогично определяется точная нижняя грань ограниченного снизу множества.

е) Точка А называется внутренней точкой множества {M}, если существует e-окрестность точки А (т.е. открытый шар радиуса e, с центром в точке А), целиком принадлежащая множеству {M}. Точка А называется граничной точкой множества {M}, если в любой e- окрестности точки А содержатся точки, как принадлежащие множеству {M}, так и не принадлежащие ему.

ж) Множество {M} называется открытым, если все его точки внутренние, замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

з) Множество {M} называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей этому множеству.

и) Окрестностью точки А называется любое открытое связное множество, содержащее точку А.

к) Областью называется открытое связное множество, объединение области и её границы – замкнутой областью.

л) Определение 1. Точка А называется предельной точкой множества {M}, если в любой e- окрестности этой точки содержатся точки множества {M}, отличные от А. Точка А может не принадлежать множеству {M}.

Определение 2. Точка А называется предельной точкой множества {M}, если любая окрестность этой точки содержит бесконечное подмножество множества {M}.

м) Характеристической функцией множества {M} называется функция , такая, что: , если и , если .

29. а) Говорят, что определена числовая последовательность (или просто последовательность) { x_n }, если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое число x_n.

б) Последовательность { x_n } называется ограниченной, если такое, что . С геометрической точки зрения это означает, что все члены последовательности находятся в некоторой окрестности (М -окрестности) точки .

Последовательность { x_n } называется неограниченной, если .