Теорема 2. 4 страница

53.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

54. n -е производные некоторых функций:

1. ;

2. ;

3. ; 4. .

55. Инвариантность формы первого дифференциала: сохранение формулы в том случае, когда , но только теперь dx является не произвольным приращением аргумента х (как в случае, когда х – независимая переменная), а дифференциалом функции в точке , т.е. .

56. Определение. Функция называется ограниченной сверху (снизу) на множестве Х, если существует число М (m) такое, что выполняется неравенство .

57. Первая теорема Больцано-Коши (об обращении непрерывной функции в нуль).

Пусть функция определена и непрерывна в и на концах этого сегмента принимает значения разных знаков. Тогда между a и b необходимо найдется точка с, в которой функция обращается в нуль: .

Вторая теорема Больцано-Коши (о промежуточном значении).

Пусть функция определена и непрерывна в некотором промежутке Х (замкнутом или нет, конечном или бесконечном). Если в двух точках и () этого промежутка функция принимает неравные значения , то, каково бы ни было число С, лежащее между А и В, найдется такая точка между а и b, что .

58. Теорема (о локальной ограниченности непрерывной функции).

Если функция непрерывна в точке , то существует окрестность точки , в которой эта функция ограничена.

59. Теорема (1-я теорема Вейерштрасса).

Непрерывная на сегменте функция ограничена на этом сегменте.

Теорема (2-я теорема Вейерштрасса).

Непрерывная на сегменте функция достигает на этом сегменте своих точных граней, т.е.

.

60. Определение. Функция называется равномерно непрерывной на множестве Х, если такое, что , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

При равномерной непрерывности δ зависит только от ε и не зависит от x, в то время как при «обычной» непрерывности δ зависит как от ε, так и от x.

61. Теорема (теорема Кантора о равномерной непрерывности функции).

Непрерывная на сегменте функция равномерно непрерывна на этом сегменте.

Следствие. Пусть функция определена и непрерывна в . Тогда по заданному найдётся такое , что если сегмент произвольно разбить на на частичные промежутки с длинами, меньшими , то в каждом из них колебание функции будет меньше . (Напоминание: Колебанием функции в промежутке Х называется разность между её точными верхней и нижней границами)

62. Лемма Бореля (о конечном покрытии).

Если сегмент покрывается бесконечной системой открытых промежутков, то из нее всегда можно выделить конечную подсистему, которая также покрывает этот сегмент.

63. Определение 1. Говорят, что функция возрастает в точке , если существует такая окрестность точки , в которой

Аналогично определяется убывание функции в точке.

Определение 2. Говорят, что функция возрастает (не убывает) на промежутке Х, если из условия следует неравенство (соответственно ).

Аналогично определяется убывание (невозрастание) функции на промежутке.

64. Теорема (достаточное условие возрастания функции в точке).

Если функция дифференцируема в точке и , то возрастает (убывает) в точке .

65. Теорема (необходимое и достаточное условие монотонности функции на промежутке).

Для того чтобы дифференцируемая на промежутке Х функция не убывала (не возрастала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство .

66. Теорема (достаточное условие строгой монотонности функции).

Если функция дифференцируема на промежутке Х и , то возрастает (убывает) на промежутке Х.

67. Теорема Ферма. Пусть функция определена в некотором промежутке Х и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если существует двусторонняя конечная производная в этой точке, то необходимо = 0.

Теорема Дарбу. Если функция имеет конечную производную в промежутке , то функция принимает каждое промежуточное значение между и .

Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет условиям:

1) непрерывна на ;

2) дифференцируема в ;

3) .

Тогда существует точка такая, что .

Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет условиям:

1) непрерывна на ;

2) дифференцируема в .

Тогда существует точка такая, что . Последняя формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Физическая интерпретация теоремы Лагранжа.

Запишем формулу Лагранжа в виде

.

В левой части – средняя скорость за время . Тогдаформула Лагранжа утверждает, что существует такой момент времени , в который мгновенная скорость равна средней скорости на временном отрезке .

Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа. Касательная к графику в некоторой точке параллельна прямой, проходящей через концы графика (или совпадает с ней).

Теорема Коши. Пусть функции и удовлетворяют условиям:

1) и непрерывны на ;

2) и дифференцируемы в ;

3) .

Тогда существует точка такая, что .

Последняя формула называется формулой Коши.

68. Правило Лопиталя (три основных теоремы).

Теоремы 1, 2 позволяют раскрывать неопределённости вида .

Теорема 1. Пусть выполнены условия:

1) функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a (кроме, быть может, самой точки a);

2) ;

3) в указанной окрестности точки a (кроме, быть может, самой точки a);

4) существует .

Тогда существует и он равен .

Теорема 2. Пусть выполнены условия:

1) функции и определены и дифференцируемы на полупрямой ;

2) ;

3) ;

4) Существует .

Тогда существует и он равен .

Теорема 3 позволяет раскрывать неопределенности типа .

Теорема 3. Если выполнены условия 1), 3), 4) теорем 1 и 2, а вместо условия 2) выполнено условие

(а – число или символ ),

то существует и он равен .

Теоремы 1, 2 и 3 справедливы также в отношении односторонних пределов.

Неопределённости других типов можно свести к неопределенностям типа или и затем применять правило Лопиталя.

69. Теорема 1. Если функция определена в некоторой окрестности точки и n раз дифференцируема в х ₀, то (формула Тейлора), где: называется многочленом Тейлора для функции (с центром в точке х ₀), обладающим свойством , а – остаточный член.

Теорема 2. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х ₀и раз дифференцируема в некоторой окрестности точки х ₀. Пусть х – произвольное значение аргумента из этой окрестности, – произвольное число. Тогда существует точка такая, что

.

Это выражение называется общей формой остаточного члена.

Другие, наиболее важные частные случаи:

а) форма Пеано ;

б) форма Лагранжа (p = n+1): ();

в) форма Коши (p = 1):

;

г) интегральная форма:

.

70. Разложения по формуле Маклорена (частный случай формулы Тейлора при ) некоторых функций:

;	;
;	;
.

71. Определение 1. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов или равен или .

Определение 2. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при , если эта функция представима в виде , где при .

Аналогично при .

Теорема. Для того чтобы прямая была наклонной асимптотой графика функции при , необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

.

Аналогично при .

72. Определение. Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , в которой при выполняется неравенство (соответственно ). Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум (или просто экстремум).

Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция имеет в точке экстремум, то производная в точке или равна нулю, или не существует.

Соответствующие значения аргумента, при условии, что в них функция непрерывна, называются точками возможного экстремума, или точками, подозрительными на экстремум.

Теорема (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки (за исключением, быть может, самой точки ). Тогда, если при переходе через точку (в сторону возрастания х) производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то в точке функция имеет локальный максимум (минимум). Если при переходе через точку производная функции не меняет знака, то в точке функция не имеет экстремума.

Теорема (второе достаточное условие экстремума). Пусть в точке возможного экстремума функция имеет вторую производную. Тогда, если , то функция имеет в точке локальный максимум (минимум).

73. Определение 1. График функции имеет на интервале выпуклость, направленную вниз (вверх), если в пределах интервала график лежит не ниже (не выше) любой касательной.

Определение 2. Точка графика функции называется точкой перегиба этого графика, если в этой точке график функции имеет касательную и существует такая окрестность точки с, в пределах которой слева и справа от неё направления выпуклости графика функции различны.

Теорема (необходимое условие перегиба). Если график функции имеет перегиб в точке , и вторая производная непрерывна в точке с, то .

Теорема (достаточное условие перегиба). Если в некоторой окрестности точки с существует вторая производная функции , причем , и в пределах этой окрестности слева и справа от точки с знаки различны, то график функции имеет перегиб в точке .