Теорема 2. 6 страница

96. Теорема. Сумма ряда непрерывных функций, мажорируемого на некотором отрезке , есть функция непрерывная на этом отрезке.

97. Теорема 1 (об интегрировании функциональных рядов).

Пусть ряд непрерывных функций мажорируется на некотором отрезке и пусть – сумма этого ряда. Тогда интеграл от в пределах от до х, принадлежащих отрезку , равняется сумме таких же интегралов от членов данного ряда.

Теорема 2 (о дифференцировании функциональных рядов).

Если ряд , составленный из функций, имеющих непрерывные производные на отрезке , сходится на этом отрезке к сумме и ряд , составленный из производных его членов, мажорируем на том же отрезке, то сумма ряда производных равна производной от суммы первоначального ряда, т.е. .

98. Радиус сходимости степенного ряда (определяется по признаку Коши): . Ряд, полученный почленным дифференцированием данного степенного ряда, т.е. , имеет тот же интервал сходимости .

99. Функциональный ряд вида называется тригонометрическим рядом.

Пусть периодическая с периодом функция такова, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале , т.е. является суммой этого ряда:

.

Если ряд мажорируем, то его можно почленно интегрировать в промежутке . В результате получаются коэффициенты Фурье:

, , .

Тригонометрический ряд с такими коэффициентами называется рядом Фурье для функции .

100. Определение. Функция называется кусочно-монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т.е. либо невозрастающая, либо неубывающая.

Теорема (о достаточных условиях представимости функции рядом Фурье).

Если периодическая с периодом функция – кусочно-монотонная на отрезке , то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда равна значению функции в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции сумма ряда равняется .

101. Определение. Переменная z (с областью изменения ) называется функцией независимых переменных из множества , если каждой паре по некоторому закону или правилу ставится в соответствие одно определённое значение z из .

102. Определения.

Внутренней точкой множества в -мерном пространстве называется такая точка множества , которая принадлежит ему вместе с некоторой окрестностью.

Множество, состоящее целиком из внутренних точек, называется открытой областью.

Точкой сгущения множества называется такая его точка , в каждой окрестности которой содержится хотя бы одна точка множества , отличная от .

Пограничными точками открытой области называются точки сгущения, не принадлежащие самой области.

Граница области – совокупность её пограничных точек.

Открытая область в совокупности с её границей называется замкнутой областью.

Примерами областей являются параллелепипед и сфера.

103. Определение (по Коши). Число b называется пределом функции в точке А (при ), где точки – некоторому множеству пространства E^m, если такое, что , , выполняется неравенство .

Обозначение: .

155. Теорема (о связи между двойными и повторными пределами). Если

1) существует (конечный или нет) двойной интеграл и

2) существует конечный простой предел по ,

то существует повторный предел , равный двойному.

105. Определение. Частной производной функции по аргументу во внутренней точке области определения этой функции называется (если предел существует).

Физический смысл частной производной: – это скорость изменения функции в точке М в направлении оси .

106. Определение. Дифференциалом (или первым дифференциалом) функции в точке называется линейная функция аргументов :

или, если считать, что , то

.

Инвариантность формы первого дифференциала: сохранение предыдущей формулы в том случае, когда , но только теперь являются не произвольными приращениями переменных (как в случае, когда – независимые переменные), а дифференциалами функций в точке , причем , , …, , т.е.

.

107. Теорема (о достаточных условиях равенства смешанных производных)

Пусть функция от переменных определена в открытой -мерной области и имеет в ней все частные производные до -го порядка включительно и смешанные производные -го порядка, причём все эти производные непрерывны в (т.е. ). Тогда значение любой -й производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.

Коротко: непрерывные смешанные производные всегда равны.

Контрпример: у функции двух переменных (при ), смешанные производные () вовсе не имеют предела при , т.е. терпят в точке разрыв. Теорема неприложима.

108. Определение. Функция в точке имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

,

чтобы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство

.

Если выполняется строгое неравенство, то – собственный максимум (минимум), иначе – несобственный.

109. Теорема. Обращение в нуль частных производных первого порядка является необходимым условием существования экстремума.

Как и в случае функций одной переменной, точки, удовлетворяющие этим условиям, называются стационарными.

110. Обозначим: .

Теорема (достаточные условия экстремума функции двух переменных).

Если , то в стационарной точке функция имеет экстремум, а именно: максимум при и минимум при . В случае, если , экстремума нет.

Для решения вопроса при следует привлекать высшие производные.

111. Определение. Неявная функция – это решение уравнения относительно y, т.е. , где Х – некоторое множество.

Теорема 1 (о существовании неявной функции).

Предположим, что

1) функция определена и непрерывна в некотором прямоугольнике

с центром в точке ;

2) в этой точке обращается в нуль: ;

3) при постоянном функция монотонно возрастает (или монотонно убывает) с возрастанием .

Тогда

а) в некоторой окрестности точки уравнение определяет y как однозначную функцию от x: ;

б) при эта функция принимает значение : ;

наконец,

в) функция непрерывна.

Теорема 2.

Предположим, что

1) функция определена и непрерывна в прямоугольнике

с центром в точке ;

2) частные производные и существуют и непрерывны в D;

3) в точке обращается в нуль: ;

наконец,

4) производная отлична от нуля.

Тогда выполняются заключения а), б), в) теоремы 1 и, кроме того,

г) функция имеет непрерывную производную, вычисляемую по формуле

.

112. Понятие зависимости и независимости функций.

Пусть n функций

(*)

определены и дифференцируемы в некоторой области .

Определение 1. Функция называется зависимой в области D от остальных функций из указанной совокупности (*), если ее можно представить в виде , где Ф – дифференцируемая функция своих аргументов.

Определение 2. Функции (*) называются зависимыми в области D, если одна из них (безразлично какая) зависит в этой области от остальных функций. Если же ни одна из функций (*) не зависит от остальных, то функции (*) называются независимыми в области D.

113. Теорема (достаточное условие независимости функций).

Пусть функции

, …, ,

где , дифференцируемы в окрестности точки , и пусть якобиан

этих функций по каким-либо переменным не равен нулю в точке .

Тогда эти функции независимы.

Следствие. Если функции зависимы в , то все якобианы равны нулю в .

Определение. Матрица из частных производных

называется функциональной матрицей (матрицей Якоби или просто якобианом).

Теорема (общая теорема о зависимости и независимости функций). Пусть:

1^о) функции

дифференцируемы в окрестности точки , а частные производные непрерывны в точке ;

2^о) функциональная матрица А имеет минор r -го порядка, не равный нулю в точке ;

3^о) все миноры -го порядка матрицы А (если такие имеются) равны нулю в точке .

Тогда r функций, представленных в указанном миноре r- го порядка, независимы в , а каждая из остальных функций зависит в некоторой окрестности точки от этих r функций.

114. Определение. Функция имеет в точке условный минимум (максимум) при условиях связи

, (*)

если существует такая окрестность точки , что для любой точки этой окрестности, координаты которой удовлетворяют уравнениям (*), выполняется неравенство .

115. Формулы перехода от прямоугольных координат к цилиндрическим координатам (угол отсчитывается от положительного направления оси Ох до проекции точки на плоскость Oxy):

Иногда для берется промежуток .

Якобиан этого отображения .

Координатная поверхность представляет собой цилиндрическую поверхность – отсюда и название "цилиндрические координаты", поверхность – полуплоскость и поверхность – плоскость .

Определение. Кривые, на которых две криволинейные координаты имеют постоянные значения, и изменяется только одна из координат, представляют собой координатные линии.

Здесь (для цилиндрических координат): координатная линия – полупрямая (луч), – окружность, z – прямая.

116. Формулы перехода от прямоугольных координат к сферическим координатам :

(иногда в качестве угла берется угол между проекцией направления в точку и самим этим направлением, со знаком плюс, если , и со знаком минус, если . В этом случае , а в формулах перехода нужно заменить на и наоборот).

Якобиан этого отображения:

(в случае второго способа выбора угла якобиан равен ).

Координатная поверхность представляет собой сферу – отсюда и название "сферические координаты", поверхность – конус с вершиной в начале координат, поверхность – полуплоскость.

117. Объем V кубируемой области Т (кубируемого тела) в пространстве выражается формулой . Переходя к новым переменным u, v, w по формулам , отображающим область пространства на область Т пространства , получим выражение объема области Т в криволинейных координатах: