Теорема 2. 3 страница

в) Число а называется пределом последовательности { x_n }, если такое, что . Обозначение: . С геометрической точки зрения это означает, что в любой e- окрестности точки а находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера, зависящего, вообще говоря, от ε.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

г) Теорема. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

д) Теорема (необходимое условие сходимости последовательности).

Сходящаяся последовательность ограничена.

30. Теорема (принцип Больцано-Коши сходимости последовательности).

Для существования конечного предела последовательности { x_n } необходимо и достаточно, чтобы такой, чтобы неравенство выполнялось для всех и .

31. а) Последовательность { x_n } называется бесконечно малой, если .

б) Последовательность { x_n } называется бесконечно большой, если " A > 0 $ N такое, что " n > N | x_n | > A.

В общем случае произвольная неограниченная последовательность не является бесконечно большой.

32. Теорема (о трёх последовательностях или " о двух милиционерах "). Если , , и, начиная с некоторого номера n, выполняются неравенства , то .

33. Теорема Штольца. Пусть: . Тогда существует предел .

34. а) Последовательность { x_n } называется невозрастающей (неубывающей), если .

Невозрастающие и неубывающие последовательности называют монотонными последовательностями. Последовательность { x_n } называется возрастающей (убывающей), если .

б) Теорема. Монотонная ограниченная последовательность сходится.

35. а) Последовательность , где – произвольная возрастающая последовательность целых положительных чисел , называется подпоследовательностью последовательности { x_n }.

б) Два эквивалентных определения:

Определение 1. Число а называется предельной точкой (частичным пределом) последовательности { x_n }, если из этой последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к а.

Определение 2. Число а называется предельной точкой последовательности { x_n }, если в любой e- окрестности точки а содержится бесконечно много членов последовательности { x_n }.

в) Наибольшая (наименьшая) предельная точка последовательности { x_n }, ограниченной сверху (снизу), называется верхним (нижним) пределом этой последовательности и обозначается x_n ( x_n).

36. Теорема (теорема Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

37. Два эквивалентных определения фундаментальной последовательности:

Определение 1. Последовательность { x_n } называется фундаментальной, если такое, что и любого натурального числа p выполняется неравенство (в общем случае, для последовательности точек из : ).

Определение 2. Последовательность { x_n } называется фундаментальной, если такое, что и выполняется неравенство .

Геометрическая интерпретация этих определений: если последовательность { x_n } фундаментальная, то такое, что расстояние между любыми двумя членами последовательности с номерами, большими, чем N, меньше e.

38. Теорема (критерий Коши сходимости последовательности). Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

39. Определение. Пусть X – область изменения числовой величины x. Точка а (a или а ) называется предельной точкой множества X, если в любой e- окрестности этой точки содержатся точки множества X, отличные от a.

а) Пусть a есть предельная точка множества Х – области определения функции .

Определение 1 (по Коши). Число b называется пределом функции в точке a (при ), если такое, что для , удовлетворяющего условиям , выполняется неравенство .

Определение 2 (по Гейне). Число b называется пределом функции в точке a, если для любой сходящейся к а последовательности { x_n } такой, что , соответствующая последовательность значений функции сходится к b.

Обозначение: или при .

Отметим, что функция может быть и не определена в точке а, т.е., вообще говоря, .

Определение 3 (по Коши). Число b называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке a, если такое, что , удовлетворяющего условиям , выполняется неравенство .

Определение 4 (по Гейне). Число b называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке a, если для любой сходящейся к а последовательности { x_n } такой, что , соответствующая последовательность значений функции сходится к b.

Обозначения: или (соответственно или ).

б) Пусть функция определена на полупрямой .

Определение 5 (по Коши). Число b называется пределом функции при , если такое, что выполняется неравенство .

Определение 6 (по Гейне). Число b называется пределом функции при , если для любой бесконечно большой последовательности { x_n } соответствующая последовательность значений функции сходится к b.

Определения 5 и 6 эквивалентны.

Аналогично определяется . Если , то пишут . Например, .

40. Теорема (Принцип сходимости. Общий признак Больцано-Коши существования конечного предела функции).

Для того чтобы функция при стремлении x к a (a может быть и ) имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для такое, что неравенство выполнялось, лишь только и .

41. Определение 1. Функция , определенная в некоторой окрестности точки а, называется непрерывной в точке а, если .

Пусть а – предельная точка области определения функции .

Определение 2. Точка а называется точкой разрыва функции , если в этой точке не является непрерывной.

42. Пусть определена в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а. Тогда а называется:

1) точкой устранимого разрыва функции , если существует , но либо не определена в точке а, либо (если положить , то функция станет непрерывной в точке а, т.е. разрыв будет устранен);

2) точкой разрыва I рода функции , если существуют и , но ;

3) точкой разрыва II рода функции , если в точке а не существует по крайней мере один из односторонних пределов функции .

43. Замечательные пределы: 1) ; 2) , или .

Другие часто встречающиеся пределы: .

44. Функции , , , (, ),

, , , ,

, , ,

называются простейшими (или основными) элементарными функциями ( к ним следует добавить гиперболические функции).

Функция называется элементарной, если она может быть получена с помощью конечного числа арифметических операций и суперпозиций над простейшими элементарными функциями.

45. Функция называется бесконечно малой (б.м.ф.) при (в точке а), если .

Аналогичные определения имеют место для случаев .

46. Функции и ( в некоторой окрестности точки а) называются:

а) б.м. одного порядка при (в точке а), если ;

б) эквивалентными б.м. при (в точке а), если (обозначение при );

в) функция называется б.м. более высокого порядка при (в точке а), чем , если .

Пишут при .

47. Асимптотические формулы при :

,	,	,
,	,	,
,	.

48. Асимптотическая формула Стирлинга: при . Относительная ошибка убывает с возрастанием .

49. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Приращением этой функции в точке называется следующая функция аргумента :

.

Производной функции в точке называется (если предел существует).

Физический смысл производной – скорость изменения функции в точке , геометрический – угловой коэффициент касательной к графику функции в точке

50. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде , где А – некоторое число, а – функция аргумента , бесконечно малая и непрерывная в точке (т.е. ).

Теорема. Для того чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы существовала производная .

Отметим, что при этом .

51. Дифференциалом (или первым дифференциалом) функции в точке (дифференцируемой в этой точке) называется следующая функция аргумента : .

При дифференциал является главной (линейной относительно ) частью приращения функции в точке .

Геометрический смысл дифференциала dy: он равен приращению линейной функции, графиком которой является касательная в графику функции в точке .

52. Таблица производных элементарных функций