Теорема 2. 5 страница

74. Основная схема построения графика функции :

1) найти область определения функции и значения этой функции в точках разрыва и граничных точках области определения;

2) установить, имеет ли функция асимптоты;

3) установить, является ли функция четной, нечетной, периодической;

4) найти нули функции, т.е. решить уравнение . Эти решения и точки разрыва функции разбивают ее область определения на промежутки знакопостоянства функции;

5) найти промежутки сохранения направления выпуклости и точки перегиба графика функции.

75. Интегральные суммы и определенный интеграл.

Пусть функция определена на сегменте , где . Обозначим через или просто Т произвольное разбиение сегмента точками на n частичных сегментов [ x_i-1, x_i ] (i=1,2,…,n). Положим , выберем на каждом сегменте [ x_i-1, x_i ] произвольную точку и составим интегральную сумму , соответствующую данному разбиению и данному выбору промежуточных точек .

Введем обозначение .

Определение 1. Число I называется пределом интегральных сумм при , если такое, что для всякого разбиения Т[ a,b ], у которого , выполняется неравенство при любом выборе промежуточных точек на .

Определение 2. Функция называется интегрируемой (по Риману)на сегменте , если существует .

При этом число I называется определенным интегралом от функции на сегменте и обозначается .

76. Теорема (о среднем значении).

Пусть и интегрируемы на ,

.

Тогда существует число такое, что .

Следствие 1. Если положить , то .

Число называется средним значением функции на сегменте .

Следствие 2. Если выполнены условия теоремы и функция непрерывна, то такое, что .

Следствие 3. Если функция непрерывна, то такое, что

.

77. Определение 1. Функция называется первообразной для функции на промежутке Х, если .

Определение 2. Пусть функция интегрируема на сегменте . Функция называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема. Непрерывная на сегменте функция имеет первообразную на этом сегменте. Одной из первообразных является функция .

78. Таблица основных интегралов

Степенные функции	Показательные функции
	()
Тригонометрические функции	Гиперболические функции
Дробные рациональные функции	Иррациональные функции
()	(для , )
(для , )	()
(для , )	(для , )

79. Теорема (Формула замены переменной).

Пусть определена и непрерывна на , а определена и непрерывна вместе с производной на , где и .

Тогда .

Теорема (Формула интегрирования по частям).

Если и имеют непрерывные производные на , то

.

80. Теорема (правило Лейбница о дифференцировании определенного интеграла по параметру). Если функция и ее частная производная непрерывны на множестве , а функции и дифференцируемы на интервале и удовлетворяют на нем условиям , то при

, .

Первая формула остается в силе и для несобственных интегралов, если предположить, что интеграл сходится, а интеграл равномерно сходится на интервале . (При этом функция и ее производная предполагаются непрерывными лишь на множестве или на множестве .)

81. Определение. Простой (плоской) незамкнутой кривой называется кривая L, заданная параметрически:

,

где – непрерывные на сегменте функции, причем различным значениям соответствуют различные точки (т.е. нет кратных точек).

Если точки и совпадают, а остальные точки не являются кратными, то кривая L называется простой замкнутой кривой.

82. Пусть L – простая (замкнутая или незамкнутая) кривая, заданная уравнениями . Рассмотрим произвольное разбиение сегмента точками . Ему соответствует разбиение кривой L точками , М₁, …, , где . Впишем в кривую L ломаную АМ₁М₂…В. Обозначим длину ломаной через и положим . Число l называется пределом длин ломаных при , если такое, что для любого разбиения сегмента , у которого , выполняется неравенство .

Если существует предел длин ломаных при , то кривая L называется спрямляемой, а число l – длиной кривой L (или длиной дуги кривой L).

83. Длина кривой, заданной:

а) параметрически: ;

б) в декартовых координатах: ;

в) в полярных координатах: .

84. Плоской фигурой называется любое ограниченное множество точек плоскости.

Плоская фигура называется квадрируемой, если точная верхняя грань множества площадей всех вписанных многоугольных фигур равна точной нижней грани множества площадей всех описанных многоугольных фигур.

Число называется площадью плоской фигуры (по Жордану).

85. Площадь плоской фигуры, заданной:

а) в декартовых координатах: пусть плоская фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную непрерывными кривыми , (где ), и двумя отрезками прямых . Тогда площадь фигуры вычисляется по формуле

;

б) параметрически: пусть граница плоской фигуры G – простая замкнутая кривая, заданная параметрическими уравнениями , причем точка при изменении t от 0 до Т пробегает границу G так, что фигура G остается слева. Тогда площадь G может быть вычислена по любой из следующих формул:

, , ;

в) в полярных координатах: пусть плоская фигура представляет собой криволинейный сектор, ограниченный непрерывной кривой и отрезками лучей . Тогда площадь фигуры вычисляется по формуле .

86. Телом называется любое ограниченное множество точек пространства.

Тело называется кубируемым, если точная верхняя грань множества объёмов всех вписанных многогранников равна точной нижней грани множества объёмов всех описанных многогранников. (Многогранником называется тело, состоящее из конечного числа треугольных пирамид). Число называется объёмом тела (по Жордану).

87. Пусть каждое сечение кубируемого тела плоскостью является квадрируемой фигурой, причём её площадь является непрерывной функцией x (). Тогда объём этого тела вычисляется по формуле

.

В частном случае, когда тело является телом вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией , , объём тела вращения вычисляется по формуле .

88. Множество называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел. Например, множество всех рациональных чисел. Если множество эквивалентно множеству всех вещественных чисел (которое не является счетным, точнее, оно является более мощным) сегмента , то говорят, что оно имеет мощность континуума.

89. Выражение , где - бесконечная последовательность чисел, называется числовым рядом. Сумма называется n -й частичной суммой ряда. Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится.

90. Теорема (необходимый признак сходимости ряда).

Если ряд сходится, то его n -й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n.

91. Теорема (Признак Даламбера).

Если в ряде с положительными членами отношение -го члена к n -му при имеет (конечный) предел l, т.е. , то ряд сходится при и расходится при . (В случае вопрос о сходимости остается открытым).

Теорема (Признак Коши).

Если для ряда с положительными членами величина имеет конечный предел l при , т.е. , то ряд сходится при и расходится при . (В случае вопрос о сходимости остается открытым).

Теорема (Интегральный признак).

Пусть члены ряда положительны и не возрастают, т.е. , и пусть - такая непрерывная невозрастающая функция, что . Тогда:

1) если несобственный интеграл сходится, то сходится и рассматриваемый ряд;

2) если указанный интеграл расходится, то расходится и ряд.

92. Теорема (признак Лейбница).

Если в знакочередующемся ряде члены таковы, что и , то указанный ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

93. Определение 1. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда).

Если знакопеременный ряд таков, что ряд сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.

Определение 2. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов . Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд расходится, то данный знакопеременный ряд называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.

94. Определение 1. Ряд называется функциональным, если его члены являются функциями от х: .

Определение 2. Совокупность значений х, при которых ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

95. Определение 1. Функциональный ряд называется мажорируемым в некоторой области изменения х, если существует такой сходящийся числовой ряд с положительными членами, что для всех значений х из данной области выполняются соотношения .

Определение 2. Пусть – сумма функционального ряда , – сумма n первых членов этого ряда. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на отрезке , если для любого как угодно малого найдется такой номер N (не зависящий от x), что при всех будет выполняться неравенство для любого х из отрезка .