Признак сравнения

Пусть и – ряды с положительными членами. Если, начиная с некоторого номера выполняется неравенство , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Замечание 1. Обычно исследуемый ряд сравнивают с «эталонным» рядом :

сходится при ,

расходится при .

Замечание 2. Признак сравнения приходится применять, если общий член ряда содержит и при этом применение интегрального признака Коши приводит к трудно вычисляемому интегралу.

При этом используются следующие неравенства:

для всех и более «тонкое»:

(для и , то есть x(), начиная с которого , зависит от ).

ПРИМЕР 34. Исследовать на сходимость ряд .

Воспользуемся неравенством . При переходе к обратным величинам знаки неравенства меняются, то есть . Ряд расходится, так как (необходимый признак), то есть его сумма равна , но исследуемый ряд состоит из меньших членов, следовательно, его сумма может быть как числом, так и .

Рассмотрим ряд из меньших членов = – это «эталонный» ряд с , то есть расходящийся ряд.

Так как и ряд расходится, то по признаку сравнения ряд так же расходится.

ПРИМЕР 35. Исследовать на сходимость ряд .

Воспользуемся неравенством , . Все части неравенства положительны, поэтому их можно возвести в квадрат, и знаки неравенства не изменятся.

Разделим все члены неравенства на . Так как > 0, то знаки неравенства не меняются.

.

Ряд с меньшими членами сходится . Из этого сделать вывод о сходимости или расходимости ряда с большими членами нельзя.

Ряд с большими членами

расходится. Это так же не позволяет сделать определенный вывод о

сходимости исследуемого ряда.

Воспользуемся неравенством

, где

.

При

Ряд сходится при , то есть при , . Числа , удовлетворяющие условию существуют, например, . Итак,

, а этот ряд сходится. Следовательно, и ряд с меньшими членами сходится.