Интегральный признак Коши

Пусть члены ряда положительны и не возрастают, а функция f (x) на [ k, ]: 1) непрерывна;

2) положительна;

3) не возрастает;

4) f (n) = a_{n .}

Тогда ряд и несобственный интеграл являются равносходящимися, то есть сходятся или расходятся одновременно.

ПРИМЕР 32. Исследовать на сходимость ряд .

Так как знаменатель дроби n ln n возрастает при , то убывает. Кроме того, при n > 1 n ln n > 0.

Заменяя n на x, получим функцию , удовлетворяющую всем условиям теоремы. Пределы интегрирования соответствуют пределам изменения n для ряда. Итак, .

Напомним, что .

Если предел существует и конечен, то интеграл (а, следовательно, и ряд) сходится. Если же предел равен , то интеграл (а, следовательно, и ряд) расходится.

То есть и интеграл, и ряд расходятся.

ПРИМЕР 33. Исследовать на сходимость ряд .

=

Интеграл и ряд сходятся.