Закон распределения. Многоугольник распределения

Задача 14. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1000000 руб., 10 выигрышей по 100000 руб. и 100 выигрышей по 1000 руб. при общем числе билетов 10000. Найти закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Возможные значения для Х: х ₁ = 0; х ₂ = 1000; х ₃= 100000;

х ₄ = 1000000. Вероятности их соответственно равны: р ₂ = 0,01; р ₃ = 0,001; р ₄ = 0,0001; р ₁= 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Следовательно, закон распределения выигрыша Х может быть задан следующей таблицей:

Х
Р	0,9889	0,01	0,001	0,0001

Задача 15. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х
р	0,2	0,1	0,4	0,3

Построить многоугольник распределения.

Решение. Построим прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс будем откладывать возможные значения х_i, а по оси ординат – соответствующие вероятности р_i. Построим точки М ₁(1;0,2), М ₂(3;0,1), М ₃(6;0,4) и М ₄(8;0,3). Соединив эти точки отрезками прямых, получим искомый многоугольник распределения.

§2. Числовые характеристики случайных величин

Случайная величина полностью характеризуется своим законом распределения. Осредненное описание случайной величины можно получить при использовании ее числовых характеристик

2.1. Математическое ожидание. Дисперсия.

Пусть случайная величина может принимать значения с вероятностями соответственно .

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величинаы называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности:

.

Свойства математического ожидания.

1. ;

2. , где взаимно независимые случайные величины.

3. .

Рассеяние случайной величины около среднего значения характеризуют дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

.

Для вычислений используется следующая формула

Свойства дисперсии.

1. ;

2. , где взаимно независимые случайные величины.

3. Среднеквадратическое отклонение .

Задача 16. Найти математическое ожидание случайной величины Z = X+ 2 Y, если известны математические ожидания случайных величин X и Y: М (Х) = 5, М (Y) = 3.

Решение. Используем свойства математического ожидания. Тогда получаем:

М (Х+ 2 Y) = М (Х) + М (2 Y) = М (Х) + 2 М (Y) = 5 + 2^.3 = 11.

Задача 17. Дисперсия случайной величины Х равна 3. Найти дисперсию случайных величин: а) –3 Х; б) 4 Х + 3.

Решение. Применим свойства 3, 4 и 2 дисперсии. Имеем:

а) D (–3 Х) = (–3)² D (Х) = 9 D (Х) = 9^.3 = 27;

б) D (4 Х + 3) = D (4 Х) + D (3) = 16 D (Х) + 0 = 16^.3 = 48.

Задача 18. Дана независимая случайная величина Y – число очков, выпавших при бросании игральной кости. Найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Y.

Решение. Таблица распределения случайной величины Y имеет вид:

Y
р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Тогда М (Y) = 1 · 1/6 + 2 · 1/6 + 3 · 1/6+ 4 · 1/6+ 5 · 1/6+ 6 · 1/6 = 3,5;

D (Y) = (1 – 3,5)² · 1/6 +(2 – 3,5)² · /6 + (3 – 3,5)² · 1/6 + (4 – 3,5)² · /6 +(5 – –3,5)²· 1/6 + (6 – 3,5)^2. · 1/6 = 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.