Раздел III. Теорема умножения вероятностей

§1. Произведение событий и условная вероятность.

Определение 8. Произведением двух событий и называется событие, означающее совместное появление этих событий.

Если при нахождении вероятности не имеется никаких других ограничений, кроме необходимого комплекса условий, то такая вероятность называется безусловной. В противном случае она называется условной.

Определение 9. Вероятность события в предположении о наличии события называют условной и обозначают как

Рассмотрим пример, поясняющий это определение.

Пример 5. В ящике находится 11 деталей, из них 3 – нестандартные. Из ящика дважды безвозвратно берут по одной детали. Найти вероятность того, что во второй раз будет извлечена стандартная деталь(событие B), если в первый раз была извлечена нестандартная деталь(событие A)

Решение. После первого извлечения в ящике из 10 деталей останется 8 стандартных, поэтому .

Пусть известны вероятность и условная вероятность события . Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Вероятность произведения двух событий определяется формулой

.

Пример 6. В условиях примера 1 найти вероятности того, что в первый раз извлечена нестандартная деталь, а второй раз стандартная, и наоборот.

Решение. Пусть – событие, означающее, извлечение из ящика нестандартной детали, а событие – стандартной. Тогда возможны два случая.1) Вероятность , а условная вероятность . Искомая вероятность

.

2) Вероятность , а условная вероятность . Искомая вероятность

.

Теорема 3 допускает обобщение на случай произведения любого числа событий :

.,

Т.е. вероятность совместного появления n событий равна произведению n вероятностей, где условные вероятности событий в предположении, что события уже произошли.

Пример 7. В урне находится 4 белых шара, 5 красных 3 синих. Наудачу извлекают по одному шару, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что в первый раз появится белый шар(событие A), во второй раз –красный(событие B), третий– синий(событие C)

Решение. Вероятность появления белого шара в первый раз (событие A) ; условная вероятность появления красного шара во втором извлечении при условии появления в первый раз белого шара . Условная вероятность появления синего шара в третьем извлечении при условии появления в предыдущих случаях белого и красного шаров Искомая вероятность определяется при :

.

§2. Независимые события.

Определение 10. Событие называется независимым от события , если его появление не влияет на вероятность события ):

.

Отсюда следует, что . Для независимых событий теорема умножения вероятностей принимает вид:

.

Пример 8. Найти вероятность поражения цели при совместной стрельбе тремя орудиями, если вероятности поражения цели орудиями соответственно равны 0.9, 0.8 и 0.7.

Решение. Введем события. Событие, состоящее в поражения цели первым орудием обозначим через , – вторым орудием и – третьим. Поскольку эти события независимы, по теореме умножения при получим:

.

Иногда требуется найти вероятность проявления хотя бы одного события любого числа событий . Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой.

Теорема 4. Вероятность появления хотя бы одного события любого числа событий определяется формулой

,

Где вероятности соответствующих противоположных событий.

Пример 9. В условиях примера 1 найти вероятность поражения(или хотя бы одного попадания) при залповой стрельбе.

§3. Обобщенные теоремы сложения и произведений

вероятностей совместных событий:

3.1. Вероятность появления хотя бы одного из событий

Рассмотрим примеры совместного использования теорем сложения и умножения. Пусть даны два независимых события и с вероятностями

и . Найдем вероятность появления только одного из них. Введем события и : событие наступило, а событие не наступило: . Аналогично определим и событие . Поскольку события и независимы, несовместны и события и , откуда следует:

.

3.2. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

События и называют совместными, если в одном и том же испытании при появлении одного из них не исключено появление другого. Для таких событий справедлива следующая теорема:

Теорема 5. Вероятность суммы совместных событий определяется по формуле

;

1. для независимых событий

;

2. для зависимых:

;

3. независимых

.

3.3. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Пусть события несовместны и образуют полную группу

.

Допустим, что события может наступить при условии появления одного из событий при известных и . Тогда вероятность события

Пример 10. В двух урнах находятся белые и красные шары: в первой 4 белых и 5 красных, во второй 7 белых и 3 красных. Из второй урны наудачу взяли шар и переложили его в первую урну.

Решение. Перекладывание из второй урны в первую белого шара(событие ) и красного шара(событие ) образуют полную группу событий. Их вероятности и . Условные вероятности извлечения из первой урны белого шара(событие ) при добавлении туда белого или красного шара из второй урны соответственно равны и . Тогда по формуле полной вероятности получим:

.

Приведем теперь формулу Байеса. Пусть события несовместны и образуют полную группу

.

Допустим, что событие может наступить при условии появления одного из них. События называют гипотезами, поскольку неизвестно, какое из них наступит. Тогда условные вероятности гипотез находят по формуле:

Пример 11. Вероятность изготовления изделия с браком равна 0.08. После изготовления все изделия подвергаются проверке: изделия без брака признаются годными с вероятностью 0.95, а изделия с браком с вероятностью 0.06.Найти долю изделий, выпущенных после проверки, а также вероятность того, что выпущенное изделие окажется без брака.

Решение. Введем гипотезы: изделие без брака; изделие с браком. Тогда событием будет признание изделия годным. . Тогда по формуле полной вероятности получим:

.

Для ответа на второй вопрос воспользуемся формулой

.