Теории вероятностей

§ 1. Некоторые формулы комбинаторики.

Пусть задано конечное множество элементов некоторой природы, из которых можно составить определенные комбинации. Их количество изучает комбинаторика.

Комбинации, состоящие из одной и той же совокупности различных элементов и различающиеся только порядком расположения, называются перестановками. Число всех возможных перестановок определяется произведением чисел от 1 до :

.

Комбинации, содержащие по элементов из различных и различающиеся хотя бы одним элементом, называются сочетаниями. Число сочетаний дается формулой

.

Справедливы формулы

, ,

Где число возможных размещений(комбинаций по элементов из элементов и отличающиеся друг от друга либо элементами, либо порядком).

§2. Виды случайных событий.

В теории вероятностей вместо «совокупности условий» используют термин «испытание». Тогда событие трактуется как результат испытания. Например, стрельба по мишени: выстрел это–испытание, попадание в мишень–событие.

Определение 3. События называют несовместными, Если в одном и том же испытании появление одного из них исключает появление другого.

Например, выпадение орла при подбрасывании монеты исключает появление при этом же испытании решки и наоборот.

Определение 4. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появление хотя бы одного из них является достоверным событием.

Например, при стрельбе по мишени(испытание) обязательно будет либо попадание, либо промах,; эти два события образуют полную группу.

§3. Классическое определение вероятности.

Назовем каждый из возможных результатов испытания элементарным событием или исходом. Те элементарные исходы, которые интересуют нас, называются благоприятными.

Определение 5. Отношение числа благоприятствующих событию исходов к общему числу равновозможных несовместных элементарных, образующих общую полную группу, называется вероятностью события .

Вероятность события обозначается .

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна 1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна 0.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число:

.

Рассмотрим примеры непосредственного вычисления вероятности.

Пример 1. Какова вероятность того, что при заполнении спортивной лотереи «6 из 36» будет угадан 4 номера?

Решение. Общее число исходов равно , а число благоприятных

. Отсюда искомая вероятность равна .

Пример 2. В ящике находится 10 стандартных и 5 нестандартных деталей. Какова вероятность, что среди наугад взятых 6 деталей будет 4 стандартных и 2 нестандартных?

Решение. Общее число исходов равно , а число благоприятных определяется как произведение . Отсюда искомая вероятность равна .