Раздел II. Теорема сложения вероятностей

§1. Несовместные события.

Определение 6. Суммой двух событий и называют событие , которое состоит в появлении либо события , либо события , либо событий и одновременно.

Примеры суммы событий: произведены два выстрела, и события и –попадания при первом и втором выстрелах соответственно; тогда –попадание либо при первом выстреле, либо при втором, либо в обоих.

Аналогично определяется сумма нескольких событий, состоящая в появлении хотя бы одного из них.

Справедливо утверждение (Теорема сложения):

Теорема 1. Вероятность появления какого-либо из нескольких попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей

.

Следствие. Вероятность появления какого-либо из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей

.

Пример 3. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 4 концентрические зоны. Вероятности попадания в эти области равны соответственно 0.4, 0.3, 0.2 и 0.1.

Решение. Введем события: – попадание в первую зону; – во вторую. Эти события несовместны, поэтому

.

§2. Полная группа событий.

Теорема 2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:

Пример 4. На складе готовой продукции находятся изделия, среди которых 5% нестандартных. Найти вероятность того, что при выдаче изделия со склада оно будет стандартным.

Решение. Пусть – событие, означающее, что выданное изделие нестандартно. Тогда – означает событие, что выданная деталь стандартна. Эти события образуют полную группу, поэтому .

§3. Противоположные события.

Определение 7. Два единственно возможных события, образующие полную группу, называются противоположными.

Если событие обозначено через , то противоположное ему событие обозначается через . Из теоремы следует, что .