Интервальные оценки

Разделы литературы: [2] гл.10, §4.

Задания к контрольной работе

ВАРИАНТ №1

1. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков равно 8.

2. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение смены потребует его внимания первый станок, равна 0,75, второй – 0,8, третий – 0,7. Найти вероятность того, что в течение смены:

а) внимания рабочего потребуют 1-й и 3-й станки;

б) внимания рабочего потребуют какие-либо два станка;

в) хотя бы один станок потребует внимания рабочего.

3. Имеются две одинаковые урны. В первой – семь белых шаров и три черных, а во второй – шесть белых и четыре черных. Наудачу выбирается урна и из нее наугад извлекается один шар.

а) Какова вероятность того, что шар оказался белым?

б) Шар оказался белым. Какова вероятность того, что его извлекли из 1-й урны?

4. Орнитологи для изучения миграции птиц пользуются их кольцеванием. Для данной породы птиц вероятность отлова для кольцевания составляет 6% от всех пойманных. Найти вероятность того, что среди пяти пойманных птиц будут: а) ровно четыре принадлежащих к данной породе; б) не менее четырех принадлежащих к данной породе.

5. На упаковку поступают детали, среди которых 10% помечены личным клеймом рабочих. Найти вероятность того, что из 900 деталей, поступивших на упаковку:

а) личным клеймом помечены ровно 110;

б) личным клеймом помечены от 100 до 150 деталей.

6. Вероятность того, что наудачу взятое из изготовленной на фабрике партии пальто первосортное равна 0,75. Отбираются первые попавшиеся 4 пальто. Найти закон распределения случайной величины X – количества первосортных пальто среди отобранных и определить числовые характеристики: , , .

7. Случайная величина задана интегральной функцией F (x). Найти дифференциальную функцию f (x) (функцию плотности), математическое ожидание, дисперсию, построить графики.

8. Суточная потребность электроэнергии в населенном пункте является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 3000 кВт/час, а дисперсия составляет 2500. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход электроэнергии в этом населенном пункте будет от 2500 до 3500 кВт/час.

9. Путем опроса получено значений признака X.

Требуется:

1) построить интервальный и дискретный вариационные ряды распределения частот и относительных частот наблюдаемых значений X;

2) построить гистограмму и полигон относительных частот X;

3) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

4) вычислить числовые характеристики выборки: выборочное среднее ; выборочную и исправленную дисперсию ; выборочное среднее квадратическое отклонение .

10. Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением серийных ошибок измерений = 40 м произведено пять равноточных измерений расстояния от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния до цели с надежностью = 0,95, зная среднее арифметическое результатов измерений = 2000 м. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

ВАРИАНТ №2

1. Круг радиусом 1 наудачу брошен внутрь квадрата со стороной равной 4. Найти вероятность того, что круг не пересечет стороны квадрата.

2. В барабане револьвера семь гнезд, из них в пяти заложены патроны, а два оставлены пустыми. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. После этого нажимается спусковой крючок; если ячейка была пустая, выстрела не происходит. Найти вероятность того, что, повторив такой опыт два раза подряд, мы оба раза выстрелим.

3. В сборной по гимнастике 25% мастеров спорта, 42% кандидатов в мастера и 33% перворазрядников. Вероятность того, что мастер спорта или кандидат в мастера выполнит упражнения на «отлично», равна 0,92. Для перворазрядника эта вероятность равна 0,71.

а) Определить вероятность того, что член сборной, подошедший к снаряду, выполнит упражнение на «отлично».

б) Член сборной выполнил упражнение на «отлично». Какова вероятность того, что он преворазрядник?

4. Вероятность встречи космической ракеты в течение месяца с метеоритом данной массы равна 0,1. Найти вероятность того, что за четыре месяца полета метеорит такой массы встретится: а) ровно один раз; б) не более одного раза.

5. Электростанция обслуживает сеть в 6000 лампочек, вероятность включения каждой из которых за время t равна 0,8. Найти вероятность того, что одновременно будет включено:

а) ровно 4750 лампочек;

б) не менее 4750 лампочек.

6. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики этой случайной величины.

7. Случайная величина задана интегральной функцией F (x). Найти дифференциальную функцию f (x) (функцию плотности), математическое ожидание, дисперсию, построить графики.

8. Детали, выпускаемые цехом, по размерам диаметра распределяются по нормальному закону с параметрами: a = 5см и =0,81. Найти границы, в которых следует ожидать размер детали, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна 0,95.

9. Путем опроса получено значений признака X.

Требуется:

1) построить интервальный и дискретный вариационные ряды распределения частот и относительных частот наблюдаемых значений X;

2) построить гистограмму и полигон относительных частот X;

3) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

4) вычислить числовые характеристики выборки: выборочное среднее ; выборочную и исправленную дисперсию ; выборочное среднее квадратическое отклонение .

10. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения выборки оказалась равной 1000 час. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности а горения лампы всей партии, если известно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы = 40 час. Предполагается, что продолжительность горения лампы распределена нормально.

ВАРИАНТ №3

1. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков больше, чем их произведение.

2. Три исследователя, независимо один от другого, производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку, равна 0,12, второй – 0,15 и третий – 0,18. Найти вероятность того, что при однократном измерении:

а) только один исследователь допустит ошибку;

б) хотя бы один из исследователей допустит ошибку.

3. Первый цех изготовил 45 лампочек, второй – 30, третий – 25. Вероятность того, что лампочка стандартная, для первого цеха равна 0,8, для второго – 0,7 и для третьего – 0,9. Из партии наугад взята одна лампочка.

а) Определить вероятность того, что она стандартная.

б) Лампочка оказалась стандартной. С какой вероятностью она изготовлена первым цехом?

4. Вероятность того, что в туристической поездке можно встретить человека, с которым уже приходилось путешествовать, равна 0,2. Найти вероятность того, что из четырех поездок:

а) ровно в одной

б) не более чем в одной

можно встретить человека, с которым путешествовали раньше.

5. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших будет:

а) равно 820;

б) заключено между 790 и 830.

6. Устройство состоит из четырёх независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,2. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа отказавших элементов в одном опыте. Найти числовые характеристики этой величины.

7. Случайная величина задана интегральной функцией F (x). Найти дифференциальную функцию f (x) (функцию плотности), математическое ожидание, дисперсию, построить графики.

8. Ошибка радиодальномера подчинена нормальному закону. Математическое ожидание этой ошибки равно 5 м, а среднее квадратическое отклонение – 10 м. Найти вероятность того, что измеренное значение дальности будет отклоняться от истинного не более чем на 20 м.

9. Путем опроса получено значений признака X.

Требуется:

1) построить интервальный и дискретный вариационные ряды распределения частот и относительных частот наблюдаемых значений X;

2) построить гистограмму и полигон относительных частот X;

3) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

4) вычислить числовые характеристики выборки: выборочное среднее ; выборочную и исправленную дисперсию ; выборочное среднее квадратическое отклонение .

10. Время, затраченное на изготовление одной детали, есть случайная величина, распределенная по нормальному закону. При обследовании выборочным путем 100 рабочих выявлено, что на изготовление одной детали в среднем затрачено 6 минут. Найти с надежностью 0,99 доверительный интервал для оценки истинно затраченного времени а на изготовление одной детали, если его среднее квадратическое отклонение = 0,5 мин.

ВАРИАНТ №4

1. Точка А брошена в квадрат со стороной равной 2. Найти вероятность того, что расстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата не превосходит 0,3.

2. В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны вынимается один шар, отмечается его цвет и шар возвращается в урну. После этого из урны берется еще один шар. Найти вероятность того, что вынутые шары будут разного цвета.

3. В тире имеется три ружья, вероятности попадания из которых соответственно равны 0,6; 0,75; 0,8. Стреляющий берет наугад одно из ружей.

а) Определить вероятность попадания при одном выстреле?

б) Стреляющий попал по цели. С какой вероятностью он стрелял из 2-го ружья?

4. Вероятность нормальной работы в полете каждого из четырех одинаковых двигателей равна 0,9. Найти вероятность того, что в полете могут возникнуть неполадки в работе: а) в одном двигателе; б) не более чем в одном двигателе.

5. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей непроверенных окажется:

а) ровно 100 деталей;

б) от 70 до 100 деталей.

6. В ящике лежит 6 деталей, среди них имеется 3 окрашенных. Наудачу отобраны 2 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа окрашенных деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики этой случайной величины.

7. Случайная величина задана интегральной функцией F (x). Найти дифференциальную функцию f (x) (функцию плотности), математическое ожидание, дисперсию, построить графики.

8. Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величинах Х с параметрами а = 173 и = 36, найти доли костюмов 4-го роста (176 – 182 см) и 3-го роста (170 – 176 см), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы.

9. Путем опроса получено значений признака X.

Требуется:

1) построить интервальный и дискретный вариационные ряды распределения частот и относительных частот наблюдаемых значений X;

2) построить гистограмму и полигон относительных частот X;

3) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

4) вычислить числовые характеристики выборки: выборочное среднее ; выборочную и исправленную дисперсию ; выборочное среднее квадратическое отклонение .

10. Уровень дневной выработки ткачих на ткацкой фабрике есть случайная величина, распределенная по нормальному закону. Обследовано 100 человек фабрики. По данным выборки найдено x _в = 50 метров. Найти доверительный интервал для оценки средней дневной выработки ткачихи, если доверительная вероятность = 0,98 и среднее квадратическое отклонение = 4 м.

ВАРИАНТ №5

1. В коробке шесть одинаковых занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

2. С трёх автоматов случайным образом взято по одному изделию. Вероятность того, что изделие не стандартно, равно 0,15, если оно изготовлено на первом автомате; 0,085 – на втором: и 0,06 на третьем автомате. Найти вероятность того, что нестандартным окажется

а) только изделие, изготовленное на втором автомате;

б) только одно изделие;

в) хотя бы одно из взятых изделий;

3. Приборы одного наименования изготавливаются двумя заводами. Первый завод поставляет 2/3 всех приборов, поступающих на производство, а второй – 1/3. Вероятность безотказной работы (надежность) прибора, изготовленного первым заводом, равна 0,95; второго – 0,85.

а) Определить надежность прибора, поступающего на производство.

б) Прибор, поступивший на производство, работает безотказно. С какой вероятностью он изготовлен первым заводом?

4. Вероятность отказа каждого прибора при испытаниях равна 0,4. Найти вероятность отказа: а) двух приборов из четырех, б) не более двух приборов из четырех, если приборы испытываются независимо друг от друга.

5. Два станка, производительность, которых относится как 3:2, штампуют однотипные детали. Какова вероятность того, что среди 500 взятых наудачу деталей из очень большого числа деталей, выпущенных этими станками,

а) ровно 200 сделаны на втором станке;

б) не менее 250 сделаны на первом станке.

6. Монета брошена 4 раза. Найти закон распределения случайной величины Х – числа выпадений «герба». Найти числовые характеристики этой случайной величины.

7. Случайная величина задана интегральной функцией F (x). Найти дифференциальную функцию f (x) (функцию плотности), математическое ожидание, дисперсию, построить графики.

8. Станок – автомат изготавливает детали, длина которых по стандарту должна отклоняться от 125 мм. не более, чем на 0,5 мм. Среди продукции станка 7% нестандартной. Считая, что длина деталей имеет нормальный закон распределения, найти среднее квадратическое отклонение.

9. Путем опроса получено значений признака X.

Требуется:

1) построить интервальный и дискретный вариационные ряды распределения частот и относительных частот наблюдаемых значений X;

2) построить гистограмму и полигон относительных частот X;

3) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

4) вычислить числовые характеристики выборки: выборочное среднее ; выборочную и исправленную дисперсию ; выборочное среднее квадратическое отклонение .

10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали, которая распределена нормально. По выборке объема n = 100 вычислена средняя длина детали x _в=50 мм. Оценить с надежностью 0,97 математическое ожидание а длины детали с помощью доверительного интервала, если известно генеральное среднее квадратическое отклонение = 5 мм.

ВАРИАНТ №6

1. Электрический провод, соединяющий пункты А и В, порвался в неизвестном месте. Чему равна вероятность того, что разрыв произошел не далее 500 м от пункта А, если расстояние между пунктами 2 км?

2. Устройство содержит три независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,06, 0,045 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

3. В первой коробке из 20 карандашей – 13 красных; во второй из 30 карандашей – 22 красных, а в третьей из 10 карандашей – 5 красных. Из наудачу выбранной коробки наудачу извлекают карандаш.

а) Найти вероятность того, что он красный.

б) Карандаш оказался красный. С какой вероятностью он принадлежал второй коробке?

4. Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии не превысит суточной нормы, равна 0,8. Найти вероятность того, что:

а) в течение пяти рабочих дней,

б) не менее пяти рабочих дней

из семи произвольно взятых перерасхода электроэнергии не будет.

5. Вероятность рождения мальчика равна 0,5. Найти вероятность того, что из 1000 родившихся детей мальчиков будет:

а) ровно 550;

б) от 465 до 550.

6. Испытывается устройство, состоящее из трёх независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно р ₁ = 0,3; p ₂ = 0,4; p ₃ = 0,5. Составить закон распределения случайной величины X – числа отказавших приборов. Найти математическое ожидание и дисперсию.

7. Случайная величина задана интегральной функцией F (x). Найти дифференциальную функцию f (x) (функцию плотности), математическое ожидание, дисперсию, построить графики.

8. Дневной план перевозки бетона для одного самосвала представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону. Средняя выработка равна 22 м³, дисперсия – 2,2. Какой дневной план перевозки бетона для одного самосвала можно гарантировать с вероятностью, равной 0,95?

9. Путем опроса получено значений признака X.

Требуется:

1) построить интервальный и дискретный вариационные ряды распределения частот и относительных частот наблюдаемых значений X;

2) построить гистограмму и полигон относительных частот X;

3) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

4) вычислить числовые характеристики выборки: выборочное среднее ; выборочную и исправленную дисперсию ; выборочное среднее квадратическое отклонение .

10. Выборочным путем обследовано 225 электрических лампочек на повышенное напряжение. По данным выборки средний срок службы (в часах) электроламп оказался равным 200 час. Предполагая, что срок службы ламп распределен нормально, найти с надежностью 0,99 доверительный интервал для среднего срока службы электроламп, выпущенных заводом, зная, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения ламп = 30 час.

ВАРИАНТ №7

1. В ящике имеется 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Наудачу извлекаются 4 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

2. В студии телевидения 3 телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент:

а) включена только одна камера;

б) включено две камеры;

в) включена хотя бы одна камера.

3. В телеателье имеется 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,85; 0,75; 0,9; 0,95.

а) Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок.

б) Взятый наудачу кинескоп выдержал гарантийный срок. С какой вероятностью это был четвёртый кинескоп?

4. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из урны наугад достается один шар, отмечается его цвет и вновь бросается в урну. Опыт повторяется четыре раза. Найти вероятность того, что: а) два раза будет вытащен белый шар; б) более двух раз будет вытащен белый шар.

5. Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,05. Найти вероятность того, что из 600 проверяемых изделий не выдержат испытания:

а) ровно 20;

б) более 20 изделий.

6. Составить закон распределения случайной величины X – числа выпадений 5 очков при четырёх подбрасываниях игральной кости. Найти числовые характеристики этой случайной величины.

7. Случайная величина задана интегральной функцией F (x). Найти дифференциальную функцию f (x) (функцию плотности), математическое ожидание, дисперсию, построить графики.

8. Известно, что детали, выпускаемые цехом, распределяются по нормальному закону. Параметры этого нормального закона известны. Математическое ожидание равно 5 см, а дисперсия 0,81. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали имеет размеры в пределах от 4 см до 7 см.

9. Путем опроса получено значений признака X.

Требуется:

1) построить интервальный и дискретный вариационные ряды распределения частот и относительных частот наблюдаемых значений X;

2) построить гистограмму и полигон относительных частот X;

3) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

4) вычислить числовые характеристики выборки: выборочное среднее ; выборочную и исправленную дисперсию ; выборочное среднее квадратическое отклонение .

10. Станок – автомат штампует валики. По выборке объема n = 100 вычислена выборочная средняя диаметров, изготовленных валиков. Найти с надежностью 0,95 точность , с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание диаметров изготовленных валиков, зная, что их среднее квадратическое отклонение = 2мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально.

ВАРИАНТ №8

1. Точка А наудачу брошена внутрь прямоугольника со сторонами 1 и 2. Найти вероятность того, что расстояние от точки А до точки пересечения диагоналей прямоугольника не превосходит 0,5.

2. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятности попадания для каждого стрелка соответственно равны 0,85, 0,9 и 0,78. Найти вероятность того, что по мишени попадёт:

а) только первый стрелок;

б) только один стрелок;

в) хотя бы один стрелок.

3. В студенческой группе из 30 человек 20 занимаются лыжным спортом, 6 – легкой атлетикой и 4 – гимнастикой. Вероятность выполнить норму первого разряда такова: для лыжников – 0,85; для легкоатлетов – 0,9; для гимнастов – 0,75. Наудачу выбирают одного студента.

а) Найти вероятность того, что он выполнит норму первого разряда по своему виду спорта.

б) Студент выполнил норму. Какова вероятность того, что он гимнаст?

4. Среди волокон хлопка в среднем бывает 20% коротких волокон, а остальные длинные. Вычислить вероятность того, что в пучке из 6 волокон: а) два коротких; б) не менее двух коротких.

5. Вероятность выигрыша на один билет лотереи равна 0,02. Какова вероятность, что из 100 билетов выигрыш выпадет:

а) на пять билетов;

б) от двух до пяти билетов.

6. В партии из 9 деталей имеется 7 стандартных. Наудачу взяты одновременно 3 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных и найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

7. Случайная величина задана интегральной функцией F (x). Найти дифференциальную функцию f (x) (функцию плотности), математическое ожидание, дисперсию, построить графики.

8. Размер диаметра втулок, изготовленных заводом, можно считать нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием а = 2,5 см. и среднеквадратическим отклонением см. В каких границах можно практически гарантировать размер диаметра втулок, если за вероятность практической достоверности принимаются 0,9973?

9. Путем опроса получено значений признака X.

Требуется:

1) построить интервальный и дискретный вариационные ряды распределения частот и относительных частот наблюдаемых значений X;

2) построить гистограмму и полигон относительных частот X;

3) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

4) вычислить числовые характеристики выборки: выборочное среднее ; выборочную и исправленную дисперсию ; выборочное среднее квадратическое отклонение .

10. Обследуются рабочие цеха. По выборке объема n =144 найдена средняя месячная выработка рабочих (в штуках). Найти с надежностью 0,99 точность с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание месячной выработки, зная, что месячная выработка рабочего распределена нормально со средним квадратическим отклонением =10.

ВАРИАНТ №9

1. Имеется пять одинаковых карточек, на каждой из которых напечатана одна из следующих букв: а, в, е, н, с. Найти вероятность того, что на вынутых по одной и расположенных в одну линию карточках можно будет прочесть слово «весна».

2. В урне 7 белых и 8 черных шаров. Из урны вынимают два шара. Найти вероятность того, что вынутые шары будут одного цвета.

3. Для контроля за качеством продукции из трех партий деталей для проверки взята одна деталь. В одной партии 2/3 деталей бракованные, а в двух других – все детали стандартные.

а) Как велика вероятность обнаружить брак?

б) Деталь оказалась бракованной. С какой вероятностью она из первой партии?

4. В мастерской имеется 12 моторов. При существующем режиме работы вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) ровно 10; б) не менее 10 моторов работают с полной нагрузкой.

5. Какова вероятность, что при 80 бросках игральной кости цифра пять появится:

а) ровно 15 раз;

б) от 10 до 20 раз включительно?

6. Устройство состоит из 4 независимо работающих элементов. Вероятность безотказной работы для каждого из них равна 0,85. Составить закон распределения случайной величины X – числа отказавших элементов. Найти числовые характеристики.

7. Случайная величина задана интегральной функцией F (x). Найти дифференциальную функцию f (x) (функцию плотности), математическое ожидание, дисперсию, построить графики.

8. Число проданного за неделю товара определенного вида Х можно считать распределенной нормально случайной величиной. Математическое ожидание числа продаж а = 15,7 тыс. шт. Среднее квадратическое отклонение этой случайной величины тыс. шт. Найти вероятность того, что за неделю будет продано от 15 до 17 тыс. шт. товара.

9. Путем опроса получено значений признака X.

Требуется:

1) построить интервальный и дискретный вариационные ряды распределения частот и относительных частот наблюдаемых значений X;

2) построить гистограмму и полигон относительных частот X;

3) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

4) вычислить числовые характеристики выборки: выборочное среднее ; выборочную и исправленную дисперсию ; выборочное среднее квадратическое отклонение .

10. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если известно среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности =1,5.

ВАРИАНТ №10

1. В круге радиуса R помещен меньший круг радиуса R /3. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадает также и в малый.

2. Станция метрополитена оборудована тремя независимо работающими эскалаторами. Вероятность безотказной работы в течение дня для первого эскалатора равна 0,9, для второго – 0,95, для третьего – 0,85. Найти вероятность того, что в течение дня произойдёт поломка не более одного эскалатора.

3. В ящике содержится 13 деталей, изготовленных заводом №1, 19 деталей – заводом №2 и 18 – заводом №3. Вероятность того, что деталь отличного качества соответственно равна 0,8; 0,7; 0,9. Наудачу извлекают из ящика одну деталь.

а) Найти вероятность того, что отличного качества.

б) Деталь оказалась отличного качества. С какой вероятностью она принадлежит заводу №2?

4. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней дождливыми окажутся: а) 3 дня; б) менее 3 дней.

5. Вероятность выхода из строя изделия во время испытания на надежность равна 0,05. Испытываются 100 изделий. Определить вероятность того, что:

а) ровно 5 выйдут из строя;

б) от 5 до 10 из них выйдут из строя.

6. Стрелок производит 5 выстрелов по цели. Вероятность попадания по цели в каждом выстреле равна 0,7; Составить закон распределения случайной величины X – числа попаданий по цели. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

7. Случайная величина задана интегральной функцией F (x). Найти дифференциальную функцию f (x) (функцию плотности), математическое ожидание, дисперсию, построить графики.

8. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожидание а = 65 т и средним квадратичным отклонением = 0,9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

9. Путем опроса получено значений признака X.

Требуется:

1) построить интервальный и дискретный вариационные ряды распределения частот и относительных частот наблюдаемых значений X;

2) построить гистограмму и полигон относительных частот X;

3) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

4) вычислить числовые характеристики выборки: выборочное среднее ; выборочную и исправленную дисперсию ; выборочное среднее квадратическое отклонение .

10. Обследуются рабочие механического завода. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки средней месячной заработной платы рабочих завода по выборочной средней равна = 0,3, если известно, что ее квадратическое отклонение = 2 рубля. Предполагается, что размер месячной заработной платы есть случайная величина, распределенная по нормальному закону.

Литература

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М,: Высшая школа, 1972.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. М,: Высшая школа, 1975.

3. Карасев Л.И. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Статистика, 1979.

4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М,: Юнити, 2004.

5. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Высш. шк., 1998.