Формула полной вероятности. Формула Бейеса. Разделы литературы:[1] гл.4, §2, 3; [2] гл.2, §3, 4

Разделы литературы: [1] гл.4, §2, 3; [2] гл.2, §3, 4.

Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий H ₁, H ₂,..., H _n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A.

.

(7)

Эта формула называется формулой полной вероятности. События H ₁, H ₂,..., H _n часто называют «гипотезами».

Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулам Бейеса

.

(8)

Пример 5. В магазин поступили электрические лампочки одного типа, изготовленные на четырех ламповых заводах: с 1-го завода 250 шт., со 2-го – 525 шт., с 3-го – 275 шт. и с 4-го – 950 шт. Вероятность того, что лампочка прогорит более 1500 часов, для 1-го завода равна 0,15, для 2-го – 0,30, для 3-го – 0,20, для 4-го – 0,10. При раскладке по полкам магазина лампочки были перемешаны.

а) Какова вероятность того, что купленная лампочка прогорит более 1500 часов?

б) Купленная лампочка прогорела более 1500 часов. С какой вероятностью она была изготовлена 1-м заводом?

Решение.

а) Пусть A – событие, состоящее в том, что купленная лампочка прогорит более 1500 часов. Лампочка может быть изготовлена любым из четырёх заводов, поэтому возможны 4 гипотезы Н ₁ – лампочка изготовлена 1-м заводом, Н ₂, Н ₃ и Н ₄ – изготовлена соответственно 2-м, 3-м или 4-м заводом. Так как всего лампочек 250+525+275+950=2000 шт., то вероятности гипотез соответственно равны:

; ; ; .

Условная вероятность того, что лампочка, изготовленная 1-м заводом, прогорит более 1500 часов равна . Условная вероятность того, что лампочка, изготовленная 2-м заводом, прогорит более 1500 часов равна . Аналогично и (это следует из условия задачи).

Используя формулу полной вероятности, имеем

.

б) Так как событие А уже произошло, то искомую вероятность найдём по формуле Бейеса, т.е. переоценим вероятность гипотезы Н ₁:

.

Ответ: а) вероятность того, что лампочка прогорит более 1500 часов равна 0,1725;

б) вероятность того, что лампа, прогоревшая 1500 часов, изготовлена 1-м заводом равна 0,11.