Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Надо знать: независимые испытания (испытания Бернулли), формулы Бернулли и свойства вероятностей Бернулли, приближенные формулы для вероятностей Бернулли (формулы Муавра-Лапласа и Пуассона) и условия их применения. Надо уметь пользоваться таблицей значений функции Лапласа.
Разделы литературы: [1] гл.5, §1-3; [2] гл.3, §1,2.
Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 < p < 1), событие наступит ровно k раз, равна
, | (9) |
где q = 1 – p.
Если число независимых испытаний велико, то формулу Бернулли применять (технически) достаточно сложно. В этих случаях применяют локальную теорему Лапласа. Вероятности того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 < p < 1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна
, | (10) |
где .
Функция обладает следующими свойствами:
1) функция является чётной, то есть ;
2) функции монотонно убывает при положительных значениях аргумента;
3) для всех значений x > 5 значение функции .
Интегральная теорема Лапласа. Вероятности того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0 < p < 1), событие наступит не менее k 1 раз и не более k 2 раз, приближенно равна
, | (11) |
где , .
Функция обладает следующими свойствами:
1) функция является нечетной, то есть ;
2) функции – монотонно возрастающая;
3) для всех значений x > 5 значение функции .
Примечание. Таблицы значений функций и можно найти в приложениях любого учебника по теории вероятностей.
Пример 6. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет в мишень равна 0,8. Стрелок произвел 5 выстрелов. Найти вероятность того, что:
а) стрелок попадёт ровно 3 раза;
б) стрелок попадёт более 3 раз;
в) стрелок попадёт не менее 3 раз;
г) стрелок попадёт менее 3 раз.
Решение.
По условию имеем: n = 5 – число испытаний в эксперименте (число выстрелов), p = 0,8 – вероятность «успеха», q = 1 – p = 1 – 0,8 = 0,2 – вероятность «неудачи».
а) k = 3. Найти вероятность .
Так как число испытаний мало, то воспользуемся формулой Бернулли.
.
б) k > 3. Найти вероятность . Также воспользуемся формулой Бернулли.
.
в) k ≥ 3. Найти вероятность .
.
г) k < 3. Найти вероятность .
.
Ответ: а) 0,2048; б) 0,74; в) 0,94; г) 0,058.
Пример 7. В каждом из 700 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найти вероятность того, что событие А происходит:
а) точно 270 раз;
б) не меньше чем 230 раз и не больше чем 270;
в) больше чем 270 раз.
Решение.
Так как количество испытаний довольно велико, а вероятность не очень мала, то для вычисления искомых вероятностей можно использовать локальную и интегральную теоремы Лапласа.
a) Дано n = 700, p = 0,35, k = 270. Найти вероятность .
Воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Подставляя исходные данные в формулу (10), получим
,
.
По таблице найдем значение функции .
Тогда искомая вероятность .
б) Дано: n = 700, p = 0,35, k 1 = 230, k 2 = 270. Найти вероятность . Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа
Подставляя исходные данные в формулу (11), найдем
,
.
По таблице найдём значения функций:
, .
Тогда искомая вероятность равна
.
в) Дано: n = 700, p = 0,35, k > 270. Найти вероятность .
Для нахождения указанной вероятности также воспользуемся формулой (11). Так как k строго больше 270, то k 1 = 271, а всего испытаний 700, поэтому k 2 = 700.
Подставляя исходные данные, найдем
,
.
По таблице найдём значения функций:
, .
Тогда искомая вероятность равна
.
Ответ: а) 0,0045; б) 0,8591; в) 0,0197.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 1417 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!