Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. Числовые характеристики выборки

Разделы литературы: [1] гл.15, §6-8,гл. 16; [2] гл.9, §1-3, гл.10, §1.

Пример 12. Путем опроса получено значений признака X.

Требуется:

1) построить дискретный и интервальный вариационные ряды распределения частот и относительных частот наблюдаемых значений X;

2) построить полигон и гистограмму относительных частот X;

3) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

4) вычислить числовые характеристики выборки: выборочное среднее ; выборочную и исправленную дисперсию ; выборочное среднее квадратическое отклонение .

Решение.

1) Для составления дискретного вариационного ряда отсортируем данные опроса по величине и расположим их в порядке возрастания

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9

Примечание. Указанную процедуру, как и большинство расчетов по математической статистике, можно выполнять, используя электронные таблицы, например, Microsoft Excel.

Посчитаем сколько раз встречается каждое из наблюдаемых значений признака X. Эти данные можно представить в виде статистического распределения выборки(в виде таблицы, в которой первая строка – варианты (наблюдаемые значение), вторая строка – частоты появления этих вариант). Найдём относительные частоты , где n – объём выборки, которые будем вычислять с одинаковой точностью.

Дискретный ряд распределения частот (n_i) и относительных частот ().

Таблица 1

ni
	0,12	0,12	0,06	0,1	0,16	0,14	0,06	0,12	0,12

Для построения интервального вариационного ряда разобьём выборку, например, на 4 интервала. Вычислим шаг . Для каждого частичного интервала найдём сумму частот вариант, попавших в интервал. Найдём относительные частоты .

Таблица 2

Частичный интервал	Сумма частот вариант интервала ni	Относительные частоты wi	Плотность относительной частоты wi / h
1-3		0,3	0,15
3-5		0,26	0,13
5-7		0,2	0,1
7-9		0,24	0,12

2)Полигон относительных частот – ломаная линия, соединяющая точки с координатами .

Гистограмма – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (). Для построения гистограммы относительных частот найдём плотности относительных частот (см. 3-й столбец в таблице 2). На оси абсцисс отложим частичные интервалы, а над ними проведём отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии .

3) Эмпирическую функцию распределения найдем, используя следующую формулу:

Для нашего примера

Эмпирическая функция распределения:

График эмпирической функции распределения:

4)Найдем основные числовые характеристики вариационного ряда: для этого составим расчётную таблицу:

	n i
			16,3216	97,9296
			9,2416	55,4496
			4,1616	12,4848
			1,0816	5,408
			0,0016	0,0128
			0,9216	6,4512
			3,8416	11,5248
			8,7616	52,5696
			15,6816	94,0896
Сумма				335,92

Выборочное среднее найдем как среднее арифметическое взвешенное

Величина характеризует среднее значение признака X.

Выборочная дисперсия

Исправленная дисперсия

Выборочное среднее квадратическое отклонение

.

Среднее квадратическое отклонение описывает абсолютный разброс значений показателя X и в данном случае составляет 2,6.