Тема 2. Случайные величины

4. Определение случайной величины. Дискретные случайные величины. Закон распределения вероятностей. Примеры распределений: распределение Пуассона, биномиальное распределение.

[ 1 гл.6 §1-5].

5. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. Их свойства и вычисление.

[ 1 гл.7 §1-5, гл.8 §1-10].

6. Непрерывные случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины, ее свойства.

[ 1 гл.10 §1-3, гл.11 §1-5].

7. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. Их свойства и вычисление.

[ 1 гл.12 §1].

8. Примеры непрерывных распределений: равномерное распределение; нормальное распределение; показательное распределение. Их числовые характеристики.

[ 1 гл.11 §16,гл.12 §2-5, гл.13 §1-3].

9. Система двух случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины. Функция распределения и плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины.

[ 1 гл.14 §1-8].

10. Зависимые и независимые случайные величины. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Ковариация и коэффициент корреляции. Линейная регрессия. Линейная корреляция.

[ 1 гл.14 §16-21].

Вопросы для самопроверки

1. Приведите примеры дискретных и непрерывных случайных величин.

2. Что называется законом распределения вероятностей случайной величины?

3. Что называется математическим ожиданием случайной величины? Как оно обозначается? Докажите его свойства.

4. Что называется дисперсией случайной величины? Как она обозначается? Докажите ее свойства. Как взаимосвязаны среднеквадратическое отклонение и дисперсия?

5. Чему равны числовые характеристики биномиального распределения; распределения Пуассона?

6. Что называется функцией распределения случайной величины? Сформулируйте ее свойства. В чем различие графиков функций распределения для непрерывной и для дискретной случайных величин?

7. Дайте определение плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины, сформулируйте ее свойства.

8. Как найти вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение из данного интервала, если известна: ее функция распределения; ее плотность распределения вероятностей?

9. Как взаимосвязаны функция распределения и плотность распределения вероятностей случайной величины?

10. Найдите M [X] и D [Х] случайной величины, распределенной равномерно на интервале (а; в).

11. Каков вероятностный смысл параметров а и σ случайной величины, распределенной по нормальному закону? Напишите плотность нормального распределения.

12. В чем заключается «правило трех сигм»? Как, пользуясь этим правилом, найти наименьшее и наибольшее значения нормально распределенной случайной величины?

13. Сколько параметров имеет показательное распределение? Как найти для данного распределения M [X], σ[X]?

14. Как, зная закон распределения вероятностей двумерной дискретной случайной величины, найти законы распределения компонент?

15. Как взаимосвязаны понятия коррелированности и зависимости случайных величин?

16. Напишите уравнение прямой регрессии случайной величины
Y на X.