Признаки сравнения рядов с положительными членами

Теорема. Пусть заданы два ряда с положительными членами: (1) и (2). Если, начиная с некоторого натурального числа N, для всех n > N между соответствующими членами двух рядов устанавливается неравенство , Тогда

если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1);

если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2);

Теорема (предельный признак сравнения). Если и ряды с положительными членами и существует конечный предел , отличный от нуля, то оба ряда либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. (Такие ряды называются эквивалентными).

Приведем два ряда, часто используемых при сравнении рядов.

Обобщенный гармонический ряд: . При α > 1 ряд сходится, при α ≤ 1 ряд расходится.

Ряд геометрической прогрессии: . При ‌ q ‌ < 1 ряд сходится, при ‌ q ‌ ≥ 1 ряд расходится.

Теорема (признак Даламбера). Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения (n +1)-го члена к n -му при . Тогда если l < 1 ряд сходится, если l > 1 ряд расходится, если l = 1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

Теорема (признак Коши). Пусть для ряда с положительными членами существует конечный предел . Тогда если l < 1 ряд сходится; если l > 1 ряд расходится; если l = 1, то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

Теорема (интегральный признак сходимости). Пусть дан ряд , члены которого положительны и не возрастают, то есть , а функция f (x), определенная при непрерывна, не возрастает и . Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, что бы сходился несобственный интеграл .