Лекция 16. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Информационная лекция с использованием средств мультимедиа

Структура:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка. Аппарат дифференциальных уравнений в экономике.

Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Опр. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида , линейное относительно функции y и ее производных, где p(x) и q(x) f(x) – заданные функции, непрерывные на некотором интервале.

Если , то уравнение называется линейным однородным, в противном случае – неоднородным.

В этом разделе мы рассмотрим важный и распространенный случай, когда p(x) и q(x) постоянные величины. Уравнения такого вида называются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами.

Линейное дифференциальное уравнения второго порядка может иметь множество решений. Однако среди них выделяют базисные решения, по которым строится общее решение уравнения. Таких решений для уравнения второго порядка два, каков и порядок уравнения.

Опр. Решения и уравнения называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю: лишь только в том случае, когда .

Теорема. Пусть решения и уравнения линейно независимы на интервале (а; b). Тогда функция , где и - произвольные постоянные, называется общим решением данного однородного уравнения.

Вид общего решения y₀ однородного линейного уравнения второго порядка зависит от корней k₁, k₂ характеристического уравнения:

.

Если k₁, k₂ - действительные числа, причем k1 ≠ k2, то общее решение имеет вид:

Если k₁, k₂ - действительные числа, причем k₁=k₂ , то общее решение примет вид: .

Если k₁, k₂ - комплексные числа, , где , то общее решение имеет вид:

Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Общим решением неоднородного линейного уравнения второго порядка является сумма общего решения y₀ однородного уравнения и частного решения y* данного уравнения, т.е. y = y₀ + y*.

Вид частного решения устанавливается по виду правой части уравнения и задача сводится к отысканию коэффициентов этого частного решения.

1. Пусть правая часть уравнения является многочленом степени m, т.е. имеет вид , где - действительные числа и . Тогда частное решение уравнения следует искать в виде , где k – кратность значения x=0 как корня характеристического уравнения.

2. Пусть правая часть уравнения имеет вид , где a, A - действительные числа. Тогда частное решение уравнения следует искать в виде , где k – кратность значения x=a как корня характеристического уравнения.

3. Пусть правая часть уравнения имеет вид , где b, A, B - действительные числа и . Тогда частное решение уравнения следует искать в виде , где k – кратность значения x=ib как корня характеристического уравнения.

Если правая часть f(x) уравнения представляет собой произведение eα · x Pn(x), где α - число, Pn(x) - многочлен степени n, тогда частное решение y* находится подбором неопределенных коэффициентов многочлена степени n.

1. Если число α не является корнем характеристического уравнения k2 + pk + q = 0, тогда .

2. Если число α - однократный корень характеристического уравнения k2 + pk + q = 0, тогда

3. Если число α - двукратный корень характеристического уравнения k2 + pk + q = 0, тогда

Пусть f(x) имеет вид:

где P(x), R(x) - многочлены.

Пусть n - наибольшая степень этих многочленов. Частное решение y* находится подбором неопределенных коэффициентов многочленов Un(x), Vn (x) степени n:

1) если числа a ± ib не являются корнями характеристического уравнения k2 + pk + q = 0, тогда

;

2) если числа a ± ib - корни характеристического уравнения k2 + pk + q = 0, тогда

.

Выбрав вид частного решения y*, соответствующий правой части f(x) дифференциального уравнения, находим y*', y*"

Подставив найденные для y*, y*', y*" выражения в исходное линейное уравнение второго порядка, определяем неизвестные коэффициенты многочлена , или многочленов U(x) и V(x).