Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие дифференциального уравнения и его решения

Структура:

Понятие дифференциального уравнения и его решения. Дифференциальное уравнение первого порядка, его общее, частное и особое решения, их геометрический смысл. Задача Коши, теорема о существовании и единственности ее решения. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Неполные уравнения. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Общие понятия дифференциальных уравнений первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид , где x – независимая переменная, y - неизвестная функция от переменной x, y’ – ее производная.

В случае, когда из уравнения можно выразить оно называется разрешенным относительно производной и имеет вид .

В дальнейшем мы будем рассматривать уравнения первого порядка именно такого вида.

Опр. Функция y = φ(x) называется решением дифференциального уравнения, если при подстановке y = φ(x) и ее производной в данное уравнение получается тождество.

Совокупность всех решений дифференциального уравнения называется общим решением. Оно представляется в виде некоторой функции y = φ(x,c) (c - постоянная). При надлежащем выборе постоянной c функция φ(x,c) задает любое частное решение.

В теории дифференциальных уравнений основной задачей является вопрос о существовании и единственности решения. Ответ на этот вопрос дает теорема Коши, которую мы приводим без доказательства.

Теорема Коши. Пусть дано дифференциальное уравнение . Если функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D плоскости Oxy, то в некоторой окрестности любой внутренней точки этой области существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее условию .

График дифференциального уравнения называется интегральной кривой. В области D содержится бесконечно много интегральных кривых. Теорема Коши гарантирует, что при соблюдении определенных условий (они называются начальные условия или условия Коши) через каждую внутреннюю точку области проходит только одна кривая.

Задача нахождения решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям называется задачей Коши.

Уравнения с разделяющимися переменными

Опр. Уравнение вида

или

называется уравнением с разделяющимися переменными.

С помощью простых алгебраических операций дифференциальное уравнение приводится к виду:

M(x)dx + N(y)dy = 0.

После чего общее решение уравнения находится интегрированием каждого слагаемого:

Дифференциальное уравнение называется неполным, если функция f явно зависит только от одной переменной: либо x, либо y.

или (автономное уравнение).

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Опр. Функция f(x,y) называется однородной функцией m-го измерения, если

Уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется однородным относительно x и y, если функция f(x,y) является однородной функцией нулевого измерения: .

Однородную функцию можно представить как функцию от :

.

С помощью подстановки (так как ) дифференциальное уравнение y' = f(x,y) сводится к уравнению с разделяющимися переменными:

Лекция 15. Информационная лекция с использованием средств мультимедиа.