Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Структура:

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальные уравнения второго порядка. Теорема Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Опр. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно функции y и ее производной y'. Оно имеет вид: , где p(x) и q(x) - заданные непрерывные функции.

Если , то уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными, в противном случае – неоднородным.

Для линейного уравнения первого порядка можно выписать общее решение с помощью метода вариации постоянной:

.

Общие понятия дифференциальных уравнений второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид , где x – независимая переменная, y - неизвестная функция от переменной x, y’, y’’ – ее производные.

В случае, когда из уравнения можно выразить оно называется разрешенным относительно производной и имеет вид .

Опр. Функция y = φ(x) называется решением дифференциального уравнения, если при подстановке y = φ(x) и ее производных в данное уравнение получается тождество.

Совокупность всех решений дифференциального уравнения называется общим решением. Оно представляется в виде некоторой функции (, - постоянные). При надлежащем выборе постоянных функция задает любое частное решение. График решения называется интегральной кривой.

Имеет место теорема Коши, которую мы приводим без доказательства.

Теорема. Пусть дано дифференциальное уравнение . Если функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой области D пространства переменных Oxyy’, то для любой внутренней точки этой области существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее условию , .

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Существуют три вида дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка:

1. ;

2. ;

3. .