Понятие определенного интеграла

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a;b]. Внутри отрезка возьмем n последовательных точек x₁, x₂,... x_n (рис. 1).

Рис. 1. Криволинейная трапеция

Обозначим a = x_o, b = x_n+1. Весь отрезок разобьется на (n + 1) частичных промежутков. В каждом промежутке возьмем по точке

Найдем значения функции и длины промежутков h₁ = x₁ - x_o,..., h_n+1 = x_n+1 - x_n.

Составим сумму которая называется интегральной суммой. Обозначим через h длину наибольшего промежутка, т.е. h = maxh_i. Устремим n к бесконечности так, чтобы h стремилось к нулю.

Конечный предел последовательности S_n (если он существует) при h → 0, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a,b] на n + 1 промежутков, ни от выбора точек ξ₁,..., ξ_n+1, называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначается Функция f(x) называется интегрируемой функцией, число a называется нижним пределом интегрирования, число b называется верхним пределом интегрирования, отрезок [a,b] - отрезком интегрирования.

Непрерывная на отрезке [a,b] функция является интегрируемой на [a,b].

2. Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть функция y = f(x) ≥ 0 непрерывна (и значит, интегрируема) на отрезке [a,b] (рис. 2). Интегральная сумма S_n при f(x) ≥ 0 равна площади фигуры, составленной из прямоугольников со сторонами f(ξ_i) · h_i. Следовательно, предел последовательности S_n при h → 0 равен площади S криволинейной трапеции, т.е. фигуры, ограниченной линией y = f(x), осью ОХ и прямыми x = a, x = b:

Рис. 2