Экстремумы функций двух переменных

Точка называется точкой локального максимума функции , если для всех точек , принадлежащих достаточно малой окрестности точки , выполняется неравенство . Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом функции.

Точка называется точкой локального минимума функции , если для всех точек , принадлежащих достаточно малой окрестности точки , выполняется неравенство . Значение функции в точке минимума называется локальным минимумом функции.

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции.

Необходимое условие существования экстремума функции двух переменных: если функция достигает экстремума в точке , то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т. е.

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Достаточное условие существования экстремума функции двух переменных: пусть - стационарная точка функции .

Обозначим:

; ;

и составим соотношение

Тогда:

1) если , то значение функции - есть экстремум, причем это максимум, если и минимум, если ;

2) если , то значение функции экстремумом не является;

3) если , то требуется дальнейшее исследование.