Необходимые сведения о некоторых распределениях

Рассмотрим некоторые важные для математической статистики законы распределения случайных величин.

Распределение «хи-квадрат»

Пусть случайная величина равна сумме квадратов независимых случайных величин :

.

Закон распределения величины называют распределением «хи-квадрат» с степенями свободы и обозначают символом , т.е. . Обычно и для самой случайной величины используется тот же символ, т.е. вместо «» пишут «».

Перечислим важные свойства распределения «хи-квадрат».

1. Функция плотности распределения вероятностей:

, где - гамма-функция.

2. Основные числовые характеристики:

, .

3. Композиционная устойчивость: если случайные величины и независимы, то .

4. При распределение асимптотически нормально:

или, в стандартизованном виде,

.

5. Квантили распределения содержатся в специальных справочниках и другой литературе, например, [ ], табл. П5. Напомним: квантилью порядка распределения случайной величины называется число , для которого .

Для приближённого вычисления квантилей при больших () используют асимптотическую нормальность распределения . Это позволяет получить следующие приближённые формулы, точность которых возрастает с увеличением :

, (4.4.1)

, (4.4.2)

, (4.4.3)

где - квантиль порядка распределения .