Упражнения. 4.3.9. Найдите МП-оценку параметра биномиального распределения генеральной совокупности , т.е

4.3.9. Найдите МП-оценку параметра биномиального распределения генеральной совокупности , т.е. для вероятности успеха в любом из испытаний, если серии по испытаний проводились раз и в -й серии зафиксировано успехов, .

4.3.10. Найти МП-оценку параметра для генеральной совокупности, распределённой по показательному закону () с функцией плотности распределения .

4.3.11. Найдите МП-оценку параметра для генеральной совокупности, распределённой по закону Пуассона ().

2. Метод моментов

Этот метод, предложенный английским статистиком К.Пирсоном, состоит в следующем. Пусть вид закона распределения генеральной совокупности известе

Предположим, что закон распределения генеральной совокупности описывается функцией плотности распределения , если непрерывна, или вероятностями , если дискретна. Вектор - составлен из неизвестных параметров, для которых необходимо найти точечные оценки. Определим теоретически какие-либо начальных и (или) центральных моментов , распределения случайной величины :

или ;

или , где .

Очевидно, теоретические моменты являются функциями неизвестных параметров: . . Приравняем найденных теоретических моментов к соответствующим выборочным моментам, мы получим систему уравнений для определения неизвестных параметров :

,

.

Решение этой системы определяет искомые оценки неизвестных параметров. Точечные оценки параметров распределения, полученные методом моментов, будем называть ММ-оценками.