Распределение Стьюдента. Пусть и - независимые случайные величины

Пусть и - независимые случайные величины. Рассмотрим случайную величину

.

Её распределение называют распределением Стьюдента с степенями свободы и обозначают символом , т.е. . Как правило, и для самой случайной величины используется тот же символ, т.е. вместо «» пишут «». Впервые распределение Стьюдента применял английский математик Госсет (W.S.Gosset), пользовавшийся псевдонимом Student – Стьюдент.

Приведём важные свойства распределения Стьюдента.

1. Функция плотности распределения вероятностей:

, , где - гамма-функция.

2. Основные числовые характеристики:

, ; , .

3. При распределение приближается к стандартному нормальному распределению :

.

4. Квантили распределения содержатся в специальных справочниках и другой литературе, например, [ ], табл. П6.

Поскольку распределение симметрично, его квантили связаны соотношением

.

Это позволяет приводить в справочной литературе значения только для .

При больших () для квантилей выполняется приближённое равенство ( - квантиль порядка распределения ). Более точно квантили можно находить по формуле

. (4.4.4)