Методы получения точечных оценок

Рассмотрим основные методы получения оценок параметров распределения генеральной совокупности.

1. Метод максимального правдоподобия.

Этот метод, предложенный Р.Фишером, состоит в следующем. Пусть закон распределения генеральной совокупности описывается функцией плотности распределения , если относится к непрерывному типу или вероятностями , если дискретна. Здесь - вектор неизвестных параметров, для которых необходимо получить точечные оценки.

Рассмотрим функцию , описывающую закон распределения вектора случайной выборки . Она называется функцией правдоподобия. Поскольку случайные величины независимы в совокупности, функция правдоподобия имеет вид

.

Метод максимального правдоподобия состоит в том, что в качестве оценок параметров берётся вектор , доставляющий максимум функции правдоподобия при заданных значениях :

.

Точечные оценки, полученные методом максимального правдоподобия, называют МП-оценками.

При поиске точки максимума функции для упрощения расчётов можно:

а) вместо использовать логарифмическую функцию правдоподобия , т.к. от логарифмирования по основанию точки максимума не изменяются;

б) не учитывать (отбрасывать) в выражении для функции правдоподобия слагаемые и положительные сомножители, не зависящие от параметров , т.к. и это не изменит точек максимума.

Как правило, МП-оценки получают из необходимого условия экстремума дифференцируемой функции:

или , . (4.3.13)

Уравнения (4.3.13) называют уравнениями правдоподобия. Для наиболее важных распределений генеральной совокупности уравнения правдоподобия имеют единственное решение , дающее точечную оценку.