Свойства вероятности. 1. Из определения вероятности следует, что вероятность случайного события А не больше единицы и не меньше нуля

1. Из определения вероятности следует, что вероятность случайного события А не больше единицы и не меньше нуля. 0<=P(A)<=1.

2. Любое событие может либо произойти, либо не произойти. Это означает, что сумма вероятностей некоторого события А и события, ему противоположного, равна 1. Р(А)+Р()=1 (где противоположное событие или условие, по отношению к А).

Часто для вычисления вероятностей используют переход к противоположному событию Р(А)=1–Р().

Задача.

В некоторой детской игре для начала игры участнику нужно обязательно выбросить пятерку. Поскольку граней на косточке всего шесть, то кажется, что уж в шести бросках пятерка выпадет наверняка. Найдите вероятность этого события.

Решение.

Р(хоть один раз из шести выпадет “5”)=1–Р(ни разу из шести не выпадет “5”)=

3. Иногда разбивают сложный благоприятный исход на простейшие или стандартные.

Р(А или В)=Р(А)+Р(В)-Р(А и В) – вероятность того, что произойдет событие А или событие В, равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность того, что события А и В произойдут одновременно.

Задача.

Игральную кость подбрасывают один раз. Какова вероятность выпадения либо четного числа очков, либо числа, кратного трем?

Решение.

Введем обозначения:

А – выпадения либо четного числа очков, либо числа, кратного трем;

В – выпадения четного числа очков;

С – выпадения числа, кратного трем.

Р(А)=Р(В или С)=Р(А)+Р(В)-Р(В и С)=3/6+2/6-1/6=2/3.

Задача.

Игральную кость подбрасывают один раз. Найти вероятность, что выпадет число очков не менее пяти?

Решение.

Р(выпадение числа очков не менее пяти)=Р(выпадение «5»)+Р(выпадение «6») = =1/6+1/6 =1/3.

Бином Ньютона

Правила и формулы комбинаторики часто используют при решении различных задач математики. Комбинаторные доказательства отличаются простотой и особой изысканностью. Рассмотрим применение комбинаторики к доказательству формулы бинома Ньютона.

Биномом Ньютона называют формулу для вычисления выражения (а+b)ⁿ для натуральных n.

Теорема

иметь Доказательство.

Данную формулу можно доказать методом математической индукции. Ниже представлено комбинаторное доказательство.

Запишем (a+b)ⁿ в виде произведения (a+b)ⁿ=(a+b) × (a+b) × …× (a+b).

Раскроем скобки в правой части этого равенства и запишем все слагаемые в виде произведения n сомножителей а и b в том порядке, в котором они появляются.

Например, (a+b)² запишется в виде (a+b)²=(a+b) × (a+b)=aa+ab+ba+bb, а (a+b)³– в виде (a+b)³=(a+b)×(a+b)×(a+b) =aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb.

Видно, что в обе формулы входят все размещения с повторениями, составленные из букв а и b по две (три) буквы в каждом.

В общем случае – после раскрытия скобок получим всевозможные размещения с повторениями букв а и b, состоящие из n элементов. Используя коммутативность, приведем подобные члены. Подобными будут члены, содержащие одинаковое количество букв а (тогда и букв b в них будет одинаковое количество). Членов, в которые входит k букв a и, следовательно, (n–k) букв b ровно Р(k, n–k)= . Отсюда вытекает, что после приведения подобных членов выражение a^kb^n-k войдет с коэффициентом , поэтому формула примет вид: .

Задача.

Раскрыть скобки и привести подобные члены в выражении (3х+2у)⁴, используя формулу бинома Ньютона.

Решение.

Задача.

Найти коэффициент при х² в разложении (2х+3)⁶.

Решение.

В данной задаче требуется найти коэффициент только при х², поэтому нет необходимости раскрывать все выражение по формуле бинома Ньютона. Достаточно рассмотреть только одно слагаемое

.

Таким образом, х² в разложении (2х+3)⁶ будет коэффициент 4 860.

Числа называют биномиальными коэффициентами.

С помощью бинома Ньютона легко доказать свойства биномиальных коэффициентов (чисел ).