Свойства биномиальных коэффициентов

Симметричность биномиальных коэффициентов =

Это свойство следует из тождества (a+b)ⁿ=(b+a)ⁿ. Разложим обе части равенства по биному Ньютона и рассмотрим коэффициенты при a^k×b^n-k. Справа коэффициент равен , а слева .

Основное свойство биномиальных коэффициентов

Если в формуле бинома Ньютона положить а=1, b=х то получим,

(1+x)ⁿ= .

Если положить n равным n-1 то верно равенство

(1+x)^n-1= .

Умножим обе части этого равенства на (1+х), получим

(1+x)ⁿ= .

Выражение в левой части равенства снова разложим по формуле бинома Ньютона. Рассмотрим коэффициент при х^k. Слева он будет равен . В правой части член содержащий х^k появится дважды: при умножении на 1 и при умножении на х. Поэтому коэффициент в правой части при х^k имеет вид . Слева и справа стоит один и тот же многочлен, поэтому коэффициенты при х^k слева и справа должны быть одинаковыми. Поэтому .

Сумма биномиальных коэффициентов

Воспользуемся формулой бинома Ньютона, в которой положим а=1 и b=1. Тогда .