Знакопеременная сумма биномиальных коэффициентов

.

Воспользуемся формулой бинома Ньютона в которой положим а=1 и b=-1.

Сумма квадратов биномиальных коэффициентов

.

Как и при доказательстве основного свойства, используем равенство

(1+x)ⁿ= .

Умножим обе части этого равенства на (1+х)ⁿ:

(1+x)²ⁿ= .

Выражение в левой части равенства снова разложим по формуле бинома Ньютона. Рассмотрим коэффициент при хⁿ. Слева он будет равен . В правой части член, содержащий хⁿ, появится n раз: при умножении на , при умножении на , и так далее. Используем свойство симметричности биномиальных коэффициентов, получим коэффициент при хⁿ в правой части равенства:

.

Так как слева и справа стоит один и тот же многочлен, то коэффициенты при хⁿ слева и справа должны быть одинаковыми. Поэтому .

Треугольник Паскаля.

Другая, известная как треугольник Паскаля, интерпретация для биномиальных коэффициентов получается, если рассмотреть на бесконечной шашечной доске количество различных путей шашки от данной клетки до всех клеток доски.

Возьмем шахматную доску, ограниченную только с одной стороны, и поставим на поле A (черного цвета) нулевой горизонтали шашку. Двигаясь по правилам игры в шашки, она может попасть на любое поле черного цвета из области, ограниченной прямыми AB и AC. Напишем на каждом поле число способов, которыми можно попасть на данное поле. Получим

А

В С

Эти числа обычно изображают в виде треугольника, при этом каждое число равно сумме двух элементов предыдущей строки, между которыми оно находится. Этот треугольник часто называют треугольником Паскаля или арифметическим треугольником.

Арифметический треугольник можно записать и в таком виде:

В данном треугольнике, в каждой клетке хранится количество способов попасть в эту клетку из клетки (0, 0), если ходить разрешается только вниз и по диагонали вправо. Каждое число треугольника равно сумме числа, стоящего выше него, и числа, расположенного наискосок влево. На пересечение k-й вертикали и n-й горизонтали можно попасть за n шагов, k из которых будут по диагонали, n – k по вертикали. Поэтому количество способов попасть в клетку с координатами (n, k) равно .

Отметим еще следующие особенности арифметического треугольника: все элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю, а нулевой столбец состоит из единиц. Числа, стоящие в n-й строке, являются коэффициентами в разложении бинома (1+x)ⁿ по степеням x. Поэтому их называют также биноминальными коэффициентами.

Задача.

Раскрыть скобки и привести подобные члены в выражении (х+у)⁵.

Решение.

Пятая строка треугольника Паскаля имеет вид: 1 5 10 10 5 1. Поэтому

(х+у)⁵=1x⁰y⁵+5x¹y⁴+10x²y³+10x³y²+5x⁴y¹+1x⁵y⁰.

С помощью треугольника Паскаля можно доказать свойства биномиальных коэффициентов. (Смотри упражнения.)

Полиномиальная формула

Полиномом называют выражение вида (x₁+x₂+…x_k)ⁿ.

Полиномиальной формулой называют формулу для вычисления значения выражений (x₁+x₂+…x_k)ⁿ для различного числа слагаемых и различных натуральных степеней n.

Теорема