Доказательство. Формула доказывается аналогично формуле бинома Ньютона

Формула доказывается аналогично формуле бинома Ньютона.

Запишем (x₁+x₂+…x_k)ⁿ в виде произведения n сомножителей (x₁+x₂+…x_k)∙(x₁+x₂+…x_k)∙…∙(x₁+x₂+…x_k).

Раскроем скобки в правой части этого равенства и запишем все слагаемые в виде произведения n сомножителей x₁, x₂,…,x_k в том порядке, в котором они появляются. Получим всевозможные размещения с повторениями букв x₁, x₂,…,x_k, состоящие из n элементов. Используем коммутативность и приведем подобные члены. Подобными будут члены, содержащие одинаковое количество множителей x₁, x₂,…,x_k. Членов, в которые входит k₁ множителей х₁, k₂ множителей х₂ и так далее k_m множителей х_m, ровно Р(k₁,k₂,…k_m). Отсюда вытекает, что после приведения подобных членов выражение войдет с коэффициентом . Поэтому формула примет вид: .

Свойства чисел Р(k1k2…k3)

1. .